Koordinatenvektor bzgl. Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] B:={\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }}
[/mm]
eine Basis des Vektorraums
[mm] V:=\{A\in\IR^{2,2} | A \mbox{ist eine obere Dreiecksmatrix} \}
[/mm]
ist.
Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von [mm] A:=\pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] |
Da ich mit dem Thema etwas unsicher bin, würde ich gern wissen, ob ich alles richtig gemacht habe und falls nicht, eine Tipp zur Korrektur.
Annahme das B Basis des Vektorraumes V. Dann gilt für
[mm] V:=a\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }+c\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ (a+2c) & (a+b) \\ 0 & b+3c }.
[/mm]
Für beliebige a,b,c [mm] \in \IR [/mm] gilt, dass der Werte aus V, der unterhalb der Diagonalen liegt, nie ungleich Null werden kann. B ist Basis vom Vektorraum V.
[mm] V:=\pmat{ (a+2c) & (a+b) \\ 0 & b+3c } [/mm] Es soll gelten [mm] A:=\pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 1 }. [/mm]
Umstellen in ein LGS
a+0+2c=4
a+b+0=1
0+0+0=0
0+b+3c=1
Als erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & |4 \\ 1 & 1 & 0 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & 3 & |0 }
[/mm]
Umwandeln in eine obere Dreiecksmatrix (Schritte werden übersprungen)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Koordinatenvektor [mm] K:=\vektor{4 \\ -3 \\ 3 \\ 0}.
[/mm]
Alles Richtig?
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> Zeigen Sie, dass
> [mm]B:={\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 },\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }}[/mm]
>
> eine Basis des Vektorraums
> [mm]V:=\{A\in\IR^{2,2} | A \mbox{ist eine obere Dreiecksmatrix} \}[/mm]
>
> ist.
> Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von [mm]A:=\pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Da ich mit dem Thema etwas unsicher bin, würde ich gern
> wissen, ob ich alles richtig gemacht habe und falls nicht,
> eine Tipp zur Korrektur.
>
> Annahme das B Basis des Vektorraumes V. Dann gilt für
> [mm]V:=a\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }+c\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\pmat{ (a+2c) & (a+b) \\ 0 & b+3c }.[/mm]
> Für beliebige a,b,c
> [mm]\in \IR[/mm] gilt, dass der Werte aus V, der unterhalb der
> Diagonalen liegt, nie ungleich Null werden kann. B ist
> Basis vom Vektorraum V.
Hallo,
Du hast jetzt vorgerechnet, daß jede Linearkombination der drei Matrizen eine obere Dreiecksmatrix ergibt.
Das ist schonmal beruhigend - aber zu wenig: es könnte ja sein, daß es obere Dreiecksmatrizen gibt, die Du nicht als Linearkombination der drei schreiben kannst...
Für "Basis" ist zu zeigen: Erzeugendensystem und linear unabhängig.
1. Erzeugendensystem:
rechne vor, wie Du jede beliebige obere Dreiecksmatrix [mm] \pmat{a&b\\0&d} [/mm] als Linearkombination der drei Matrizen schreiben kannst.
2. Prüfe die lineare Unabhängigkeit, indem Du zeigst, daß nur die triviale Linearkombination die Nullmatrix ergibt.
Falls Ihr schon wißt, daß die Dimension von V gleich 3 ist, recht auch der Nachweis von einer der beiden Bedingungen.
> [mm]V:=\pmat{ (a+2c) & (a+b) \\ 0 & b+3c }[/mm] Es soll gelten
> [mm]A:=\pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 1 }.[/mm]
> Umstellen in ein LGS
> a+0+2c=4
> a+b+0=1
> 0+0+0=0
> 0+b+3c=1
> Als erweiterte Koeffizientenmatrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & |4 \\ 1 & 1 & 0 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & 3 & |0 }[/mm]
>
> Umwandeln in eine obere Dreiecksmatrix (Schritte werden
> übersprungen)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Und was sind jetzt a,b,c?
>
> Der Koordinatenvektor [mm]K:=\vektor{4 \\ -3 \\ 3 \\ 0}.[/mm]
Damit kann ich nichts anfangen.
Der Koordinatenvektor von A bzgl der Basis B hätte ja nur drei Einträge.
Wenn [mm] A=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}_{(B)},
[/mm]
dann muß ja sein [mm] A=a_1\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_2\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } +a_3\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Alles Richtig?
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Stimmt, ich muss ja erstmal Beweisen das B eine Basis ist. Danke für den Hinweis.
Zu zweitens, sollte reichen wenn ich das LGS auflöse?
a+2c=4
a+b=1
b+3c=1
=> a=1-b
=> b=1-3c
=> a=1-(1-3c)=3c;
=> 3c+2c=4; [mm] c=\bruch{4}{5}
[/mm]
=> [mm] b=1-3\bruch{4}{5}=-\bruch{7}{5}
[/mm]
=> [mm] a=1+\bruch{7}{5}=\bruch{12}{5}
[/mm]
[mm] \vec{k}:=\vektor{\bruch{12}{5} \\ -\bruch{7}{5} \\ \bruch{4}{5} }
[/mm]
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.> Stimmt, ich muss ja erstmal Beweisen das B eine Basis ist.
> Danke für den Hinweis.
>
> Zu zweitens, sollte reichen wenn ich das LGS auflöse?
> a+2c=4
> a+b=1
> b+3c=1
> => a=1-b
> => b=1-3c
> => a=1-(1-3c)=3c;
> => 3c+2c=4; [mm]c=\bruch{4}{5}[/mm]
> => [mm]b=1-3\bruch{4}{5}=-\bruch{7}{5}[/mm]
> => [mm]a=1+\bruch{7}{5}=\bruch{12}{5}[/mm]
>
> [mm]\vec{k}:=\vektor{\bruch{12}{5} \\ -\bruch{7}{5} \\ \bruch{4}{5} }[/mm]
Hallo,
ja, vorausgesetzt, daß Du richtig gerechnet hast, was ich nicht prüfe, ist das die Lösung.
Gruß v. Angela
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