Korrelation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängige reelle Zufallsvariable ..., die identisch verteilt sind entsprechend der Gleichverteilung auf dem Interval (0,1), d.h. [mm] X,Y\sim [/mm] U(0,1).
Berechnen Sie die Korrelation von X und X+Y. |
Bitte mal drüberschauen, ob das so richtig ist, und ob man das evtl. einfacher hätte machen können. Kommt mir so umständlich vor...
[mm] \rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{E(X(X+Y))-E(X)*E(X+Y)}{...}
[/mm]
[mm] =\bruch{EX^2+E(XY)-E(X)*E(X+Y)}{...}
[/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5*1}{\sqrt{(EX^2-(EX)^2)(E(X+Y)^2-(E(X+Y))^2)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(EX^2-0,25)(EX^2+2E(XY)+EY^2-1)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(EX^2-0,25)(4EX^2-1)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{4(EX^2)^2-2EX^2+0,25}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2EX^2-0,5}{\sqrt{(2EX^2-0,5)^2}}
[/mm]
=1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 So 21.02.2010 | | Autor: | luis52 |
> Bitte mal drüberschauen, ob das so richtig ist
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> , und ob
> man das evtl. einfacher hätte machen können. Kommt mir so
> umständlich vor...
>
Stimmt. Berechne Zaehler und Nenner separat. Nutze aus [mm] $\text{Cov}[X,X+Y]=\text{Cov}[X,X]+\text{Cov}[X,Y]$ [/mm] und [mm] $\text{Var}[X+Y]= \text{Var}[X]+\text{Var}[Y]$. [/mm] (Warum gilt das?)
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:30 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Okay, neuer Versuch:
[mm] \rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{cov(X,X)+cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)*(var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{var(X)}{\sqrt{(var(X))^2+(var(X))^2}} [/mm] (cov(X,Y)=0 da X und Y unabhängig)
[mm] =\bruch{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
Stimmt das jetzt? Außerdem würde ich auch gern noch wissen, was bei meinem 1. Versuch falsch gelaufen ist (außer dass es umständlich war)?!
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Hallo Cybrina,
> Okay, neuer Versuch:
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> [mm]\rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{cov(X,X)+cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)*(var(X)+var(Y)+2cov(X,Y)}}[/mm]
> [mm]=\bruch{var(X)}{\sqrt{(var(X))^2+(var(X))^2}}[/mm]
> (cov(X,Y)=0 da X und Y unabhängig)
> [mm]=\bruch{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> Stimmt das jetzt? Außerdem würde ich auch gern noch
> wissen, was bei meinem 1. Versuch falsch gelaufen ist
> (außer dass es umständlich war)?!
Ja, das stimmt jetzt.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 21.02.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]\rho(X,X+Y)=\bruch{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)*var(X+Y)}}[/mm]
> [mm]=\bruch{E(X(X+Y))-E(X)*E(X+Y)}{...}[/mm]
> [mm]=\bruch{EX^2+E(XY)-E(X)*E(X+Y)}{...}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2EX^2-0,5*1}{\sqrt{(EX^2-(EX)^2)(E(X+Y)^2-(E(X+Y))^2)}}[/mm]
[mm] $\text{E}[X^2]\ne\text{E}[XY]$
[/mm]
vg Luis
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