Korrelation Zufallsvariablen < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 24.06.2016 | | Autor: | Hejo |
| Aufgabe | Es sei [mm] (X_t)_{t \in\IN} [/mm] ein Prozess unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit [mm] X_t \sim [/mm] N(0,1). Durch [mm] D_t=X_t-X_{t-1}, X_0=0 [/mm] ist ein neuer Prozess [mm] (D_t)_{t \in\IN} [/mm] definiert.
Berechnen Sie die [mm] Corr[D_t,D_{t-1}] [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 2 |
[mm] V[D_t]= \begin{cases} 1, & \mbox{t=1} \\ 2, & \mbox{t >= 2} \end{cases}
[/mm]
[mm] Corr[D_t,D_{t-1}]=\bruch{Cov[D_t,D_{t-1}]}{(V[D_t]V[D_{t+1}])^{0,5}}=\bruch{Cov[D_t,D_{t-1}]}{2}=\bruch{1}{2}(E[D_tD_{t+1}]-E[D_t]E[D_{t+1}])=\bruch{1}{2}(E[D_tD_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2-\bruch{1}{2}D^2_t-\bruch{1}{2}D^2_{t+1}]=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2]-\bruch{1}{2}E[D^2_t]-\bruch{1}{2}E[D^2_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}4-\bruch{1}{2}2-\bruch{1}{2}2)=0 [/mm]
Irgendwo muss ich einen Fehler machen. Eigentlich müsste [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] rauskommen
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Hiho,
> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}E[(D_t+D_{t+1})^2]-\bruch{1}{2}E[D^2_t]-\bruch{1}{2}E[D^2_{t+1}]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}4-\bruch{1}{2}2-\bruch{1}{2}2)=0[/mm]
Deine 4 stimmt nicht, da kommt eine 2 raus.
Deine Rechnung ist aber auch unnötig kompliziert, wieso formst du so grandios schräg um?
Du kannst doch [mm] $E[D_tD_{t+1}]$ [/mm] direkt ausrechnen, exakt so, wie du es vermutlich auch mit [mm] $E\left[(D_t + D_{t+1})^2\right]$ [/mm] gemacht hast.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Sa 25.06.2016 | | Autor: | Hejo |
Zur 4: ich dachte die Varianzen addieren sich bei normalverteilten Zufallsvariablen.
Wie rechnet man [mm] E[D_t,D_{t+1}] [/mm] aus?
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Hiho,
> Zur 4: ich dachte die Varianzen addieren sich bei normalverteilten Zufallsvariablen.
Nein, die Varianzen addieren sich bei unabhängigen Zufallsvariablen. Da steht ja aber nicht die Varianz…
> Wie rechnet man [mm]E[D_t,D_{t+1}][/mm] aus?
Erstmal: Da steht kein Komma. Dann: Definition von [mm] $D_t$ [/mm] verwenden, und dann einfach die Linearität des Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die du kennst…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Sa 25.06.2016 | | Autor: | Hejo |
> Nein, die Varianzen addieren sich bei unabhängigen
> Zufallsvariablen. Da steht ja aber nicht die Varianz…
aber da steht doch das zweite nicht zentrale Moment, dass der Varianz entspricht, da [mm] \mu [/mm] = 0? Woher weiß man, dass das genau 2 ist?
> > Wie rechnet man [mm]E[D_tD_{t+1}][/mm] aus?
>
> Definition von [mm]D_t[/mm]
> verwenden, und dann einfach die Linearität des
> Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die
> du kennst…
Also [mm] E[D_tD_{t+1}]=E[(X_t-X_{t-1})(X_{t+1}-X_{t})] [/mm] usw.
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Hiho,
> aber da steht doch das zweite nicht zentrale Moment, dass
> der Varianz entspricht, da [mm]\mu[/mm] = 0?
Da steht aber das zweite Moment einer Summe! Das ist i.A. nicht gleich der Summe der zweiten Momente!
> Woher weiß man, dass das genau 2 ist?
Indem man es ausrechnet! Definition einsetzen!
> > > Wie rechnet man [mm]E[D_tD_{t+1}][/mm] aus?
> >
> > Definition von [mm]D_t[/mm]
> > verwenden, und dann einfach die Linearität des
> > Erwartungswerts nutzen. Dort kommen nur Größen vor, die
> > du kennst…
>
> Also [mm]E[D_tD_{t+1}]=E[(X_t-X_{t-1})(X_{t+1}-X_{t})][/mm] usw.
Ja.
Und glücklicherweise sind die [mm] X_t [/mm] ja alle unabhängig, sonst könnte man da nicht viel ausrechnen…
Gruß,
Gono
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