Korrelationskoeffizient < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:30 Mo 29.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X und Y zwei reelle Zufallsvaribalen mit [mm] 0
Zeigen Sie:
(i) [mm] -1\le\varrho(X,Y)\le1
[/mm]
(ii) [mm] |\varrho(X,Y)|=1 \Leftrightarrow [/mm] Es gibt ein [mm] a\in \IR\setminus{0} [/mm] und ein [mm] b\in \IR [/mm] mit P(Y=aX+b)=1
|
Tag Leute,
also ich schreib einfach mal auf wie ich mir des dachte, wobei die Lösung zugegebenermaßen nicht ganz auf meinem Mist gewachsen ist.
zu (i):
Wir zeigen: [mm] E(XY)²\le [/mm] E(X²)E(Y²).
Für [mm] \lambda\in \IR [/mm] betrachte
[mm] f(\lambda):=E((X+\lambda*Y)²)=E(X²)+2\lambda*E(XY)+\lambda²E(Y²).
[/mm]
Wenn E(Y²)=0 ist, dann ist Y=0, und die Ungleichung gilt trivialerweise. Sonst sucht man die Minimalstelle der quadratischen Funktion f (durch Differenzieren und Null-Setzen) und findet sie bei [mm] \lambda_0=-\bruch{E(XY)}{E(Y²)}. [/mm] Der Wert [mm] f(\lambda) [/mm] ist als Erwartungswert
einer nichtnegativen Zufallsvariablen selbst nicht negativ, also gilt
[mm] 0\le f(\lambda_0)=E(X²)-\bruch{2E(XY)²}{E(Y²)}+\bruch{E(XY)²}{E(Y²)}=E(X²)-\bruch{E(XY)²}{E(Y²)}. [/mm] Daraus folgt:
[mm] E(XY)²\le [/mm] E(X²)E(Y²)
Damit kann man dann Zähler und Nenner des "Korrelationskoeffizienten" gegeneinander abschätzen und man ist fertig.
Den Beweis an sich versteh ich ganz gut, allerdings würd ich gern wissen warum man hier gerade diese Funktion f betrachtet, d.h. was ist die Idee dahinter und wie kommt man drauf?? Und wieso erfolgt hier die Fallunterscheidung mit E(Y²) oder kann ich auchh E(Y) bzw. E(X) nehmen? Besten Dank schon mal.
|
|
|
