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| Aufgabe | Ein idealer Würfel (beschriftet mit den Zahlen 1 bis 8) werde zweima hintereinander geworfen. Die Zufallsgröße X gebe die erhaltene Augenzahl im ersten Wurf an. Außerdem gebe die Zufallsgröße V das Maximum der Augenzahlen der beiden Würfe und die Zufallsgröße W das Minimum der Augenzahlen der beiden Würfe an.
a) Berechnen Sie die Kovarianz [mm] Cov(X,Y^{2}) [/mm] und den Korrelationskoeffizienten [mm] p(X,Y^{2}).
[/mm]
b) Berechnen Sie die Kovarianz [mm] Cov(X,X^{2}) [/mm] und den Korrelationskoeffizienten [mm] p(X,X^{2}).
[/mm]
c) Untersuchen Sie, ob die beiden Zufallsgrößen X+Y und X-Y unkorreliert sind.
d) Untersuchen Sie, ob die beiden Zufallsgrößen X+Y und V positiv korreliert sind.
e) Untersuchen Sie, ob die beiden Zufallsgrößen V und W negativ korreliert sind. |
Hallo Leute,
ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe und brauche eure Hilfe.
Bei der Berechnung von a), b) und c) hatte ich keinerlei Probleme, jedoch fangen diese bei d) und e) an, da es hier um das Maximum und Minimum der Augenzahlen geht.
d) Untersuchen Sie, ob die beiden Zufallsgrößen X+Y und V positiv korreliert sind.
Das würde ja heißen, ich sollte zeigen:
Cov((X+Y),V) > 0.
Also: Cov((X+Y),V) = E((X+Y)*V)-E(X+Y)*E(V) = E(X*V)+E(Y*V)-(E(X)*E(V)+E(Y)*E(V))
Aus den vorherigen Aufgaben weiß ich:
[mm] E(X)=E(Y)=\bruch{9}{2}
[/mm]
Nun brauche ich noch E(V):
Hier habe ich die einzelnen Tupel betrachtet, dafür das das Maximum 1 ist habe ich 1 Tupel, dafür das es 2 ist habe 3 Tupel und so geht es weiter bis n=8 mit 15 Tupeln, also erhalte ich:
[mm] P(V=k)=\bruch{(2k-1)}{64}
[/mm]
und somit erhalte ich den Erwartungswert:
[mm] E(V)=\summe_{k=1}^{8} k*\bruch{(2k-1)}{64} [/mm] = [mm] \bruch{93}{16}
[/mm]
Soweit so gut, bis hierhin stimmt es denke ich noch. Nun habe ich ein Probleme E(X*V) und E(Y*V) zu berechnen. Muss man hier beachten, an welcher Stelle das Maximum steht?
Wenn man es nicht muss, habe ich folgende Rechnung:
[mm] E(X*V)=\summe_{i=1}^{8}\summe_{k=1}^{8} i*\bruch{1}{8}k*\bruch{(2k-1)}{64} [/mm] = [mm] \bruch{837}{32}
[/mm]
Dies wäre analog für E(Y), somit hätte man:
Cov((X+Y),V)= [mm] \bruch{837}{32} [/mm] - [mm] ((\bruch{9}{2}*\bruch{9}{2})*\bruch{93}{16}=0
[/mm]
Somit wäre es unkorreliert. Dies würde allerdings nur gelten, wenn ich nicht beachten muss an welcher Stelle das Maximum auftritt, kann mir also jemand sagen, ob ich so rechnen kann?
e) Untersuchen Sie, ob die beiden Zufallsgrößen V und W negativ korreliert
Dh. CoV(V,W) < 0.
Cov(V,W)=E(V*W)-E(V)*E(W)
Den Erwartungswert von W würde ich genauso wie in d) berechnen nur andersherum.
E(W)= [mm] \summe_{k=1}^{8} k*\bruch{(17-2k)}{64} [/mm] = [mm] \bruch{51}{16}
[/mm]
Nun würde mir wieder E(V*W) fehlern. Diesmal weiß ich aber, dass es eine große Rolle spielt, an welchen Stellen man Maximum und Minimum hat und das ich nicht einfach wieder die Summe von der Summe nehmen darf, sondern mir wahrscheinlich durch eine Fallunterscheidung neue Summen basteln muss.
Wie berechne ich E(V)*E(W)?
[mm] E(V*W)=\summe_{i=1}^{8}\summe_{k=1}^{8} max\{i,k\}*min\{i,k\} [/mm] * [mm] \bruch{1}{64} [/mm] = ... ?
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen würde.
Liebe Grüße Jana
PS: Was könnte mit "nicht konstante Zufallsgrößen" gemeint sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 11.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin Jana,
was ist denn $Y$?
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Oh, ganz vergessen. Y ist die Augenzahl im 2. Wurf!
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> Ein idealer Würfel (beschriftet mit den Zahlen 1 bis 8)
> werde zweima hintereinander geworfen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Idealer Würfel, beschriftet mit den Zahlen 1 bis 8 ?
Sind da etwa die Ecken beschriftet, oder handelt es
anstatt um einen Würfel eher um ein Oktaeder, das
wirklich 8 Seitenflächen hat ?
LG
Al-Chwarizmi
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Na für solche Aussagen können nur die Macher meines Übungszettels etwas :-D Aber ich denke mit "fair" ist gemeint, dass jede Augenzahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat und er nicht gezinkt ist.
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> Na für solche Aussagen können nur die Macher meines
> Übungszettels etwas :-D Aber ich denke mit "fair" ist
> gemeint, dass jede Augenzahl die gleiche Wahrscheinlichkeit
> hat und er nicht gezinkt ist.
Also soll es sich nicht um einen "Würfel" (cube) im
geometrischen Sinne handeln, sondern um einen
Zufallsgenerator mit einer gleichmäßigen Verteilung
auf der Grundmenge [mm] \{1,2,3,4,5,6,7,8\} [/mm] ?
In diesem Fall sollte man wohl besser nicht von
einem Würfel sprechen ... (bitte an die Macher des
Übungszettels weiterleiten !).
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 11.06.2014 | | Autor: | hippias |
>
> Soweit so gut, bis hierhin stimmt es denke ich noch. Nun
> habe ich ein Probleme E(X*V) und E(Y*V) zu berechnen. Muss
> man hier beachten, an welcher Stelle das Maximum steht?
>
> Wenn man es nicht muss, habe ich folgende Rechnung:
>
> [mm]E(X*V)=\summe_{i=1}^{8}\summe_{k=1}^{8} i*\bruch{1}{8}k*\bruch{(2k-1)}{64}[/mm]
> = [mm]\bruch{837}{32}[/mm]
>
Du musst hier auf jeden Fall beruecksichtigen, dass nicht alle Faktoren im Produkt moeglich sind: $X= 2$ und $V=1$ kann nicht sein. Z.B. ist $XV= [mm] 1\iff (X,Y)\in\{(1,1)\}$, [/mm] $XV= [mm] 2\iff (X,Y)\in \{(1,2)\}$ [/mm] und $XV= [mm] 4\iff (X,Y)\in \{(1,4),(2,2)\}$ [/mm] etc. Damit folgt $E(XV)= [mm] 1\cdot \frac{1}{64}+ 2\cdot \frac{1}{64}+\ldots$. [/mm] Viel Spass beim Rechnen!
P.S. Eine nicht konstante ZG ist sicher eine, die nicht konstant ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mi 11.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Hier noch eine kleine Hilfe beim Rechnen: Die folgende Tabelle zeigt alle Realisationen von $(X,Y,W,V)$:
| 1: |
| | 2: | [1,] 1 1 1 1
| | 3: | [2,] 2 1 1 2
| | 4: | [3,] 3 1 1 3
| | 5: | [4,] 4 1 1 4
| | 6: | [5,] 5 1 1 5
| | 7: | [6,] 6 1 1 6
| | 8: | [7,] 7 1 1 7
| | 9: | [8,] 8 1 1 8
| | 10: | [9,] 1 2 1 2
| | 11: | [10,] 2 2 2 2
| | 12: | [11,] 3 2 2 3
| | 13: | [12,] 4 2 2 4
| | 14: | [13,] 5 2 2 5
| | 15: | [14,] 6 2 2 6
| | 16: | [15,] 7 2 2 7
| | 17: | [16,] 8 2 2 8
| | 18: | [17,] 1 3 1 3
| | 19: | [18,] 2 3 2 3
| | 20: | [19,] 3 3 3 3
| | 21: | [20,] 4 3 3 4
| | 22: | [21,] 5 3 3 5
| | 23: | [22,] 6 3 3 6
| | 24: | [23,] 7 3 3 7
| | 25: | [24,] 8 3 3 8
| | 26: | [25,] 1 4 1 4
| | 27: | [26,] 2 4 2 4
| | 28: | [27,] 3 4 3 4
| | 29: | [28,] 4 4 4 4
| | 30: | [29,] 5 4 4 5
| | 31: | [30,] 6 4 4 6
| | 32: | [31,] 7 4 4 7
| | 33: | [32,] 8 4 4 8
| | 34: | [33,] 1 5 1 5
| | 35: | [34,] 2 5 2 5
| | 36: | [35,] 3 5 3 5
| | 37: | [36,] 4 5 4 5
| | 38: | [37,] 5 5 5 5
| | 39: | [38,] 6 5 5 6
| | 40: | [39,] 7 5 5 7
| | 41: | [40,] 8 5 5 8
| | 42: | [41,] 1 6 1 6
| | 43: | [42,] 2 6 2 6
| | 44: | [43,] 3 6 3 6
| | 45: | [44,] 4 6 4 6
| | 46: | [45,] 5 6 5 6
| | 47: | [46,] 6 6 6 6
| | 48: | [47,] 7 6 6 7
| | 49: | [48,] 8 6 6 8
| | 50: | [49,] 1 7 1 7
| | 51: | [50,] 2 7 2 7
| | 52: | [51,] 3 7 3 7
| | 53: | [52,] 4 7 4 7
| | 54: | [53,] 5 7 5 7
| | 55: | [54,] 6 7 6 7
| | 56: | [55,] 7 7 7 7
| | 57: | [56,] 8 7 7 8
| | 58: | [57,] 1 8 1 8
| | 59: | [58,] 2 8 2 8
| | 60: | [59,] 3 8 3 8
| | 61: | [60,] 4 8 4 8
| | 62: | [61,] 5 8 5 8
| | 63: | [62,] 6 8 6 8
| | 64: | [63,] 7 8 7 8
| | 65: | [64,] 8 8 8 8
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Dann hätte ich:
[mm] E(X*V)=1/64(1+2+3+4+5+6+7+8+4+6+8+10+12+14+16+9+12+15+18+21+24+16+20+24+28+32+25+30+35+40+36+42+48+49+56+64)=\bruch{375}{32}
[/mm]
und für E(Y*V) wären die Tupel andersherum aber der Wert an sich wäre auch wieder:
[mm] E(Y*V)=1/64(1+2+3+4+5+6+7+8+4+6+8+10+12+14+16+9+12+15+18+21+24+16+20+24+28+32+25+30+35+40+36+42+48+49+56+64)=\bruch{375}{32}
[/mm]
Stimmt das dann so?
Und wie mache ich dann E(V*W)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Do 12.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Dann hätte ich:
>
> [mm]E(X*V)=1/64(1+2+3+4+5+6+7+8+4+6+8+10+12+14+16+9+12+15+18+21+24+16+20+24+28+32+25+30+35+40+36+42+48+49+56+64)=\bruch{375}{32}[/mm]
>
Hast Du angenommen, dass die W-keit fuer fuer jedes moeglich Produkt [mm] $=\frac{1}{64}$ [/mm] ist? Dann sieh dir meine Beispiele nocheinmal genauer an.
> und für E(Y*V) wären die Tupel andersherum aber der Wert
> an sich wäre auch wieder:
>
> [mm]E(Y*V)=1/64(1+2+3+4+5+6+7+8+4+6+8+10+12+14+16+9+12+15+18+21+24+16+20+24+28+32+25+30+35+40+36+42+48+49+56+64)=\bruch{375}{32}[/mm]
>
> Stimmt das dann so?
>
> Und wie mache ich dann E(V*W)?
Genauso.
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Ja ich habe angenommen das es bei jedem 1/64 ist und bei Ergebnisse die ich doppel erhalte habe ich dann wie zB bei 4: 4*1/64+4*1/64 statt 4*2/64 was ja aber genau auf das selbe hinausläuft.
Oder meinst du etwas anderes?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 12.06.2014 | | Autor: | hippias |
Dann ist wohl alles in Ordnung mit deiner Rechnung (ich habe sie aber nicht nachgeprueft).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 12.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E(X*V)=1/64(1+2+3+4+5+6+7+8+4+6+8+10+12+14+16+9+12+15+18+21+24+16+20+24+28+32+25+30+35+40+36+42+48+49+56+64)=\bruch{375}{32}[/mm]
>
>
Irgendwas ist hier nicht koscher. Laut der Tabelle muesste z.B. der Summand 64 achtmal auftreten... Warum besteht deine Summe aus nur 36 Summanden?
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Das ich für die Wkt. insgesamt nicht wieder auf 1 komme hat mich auch gewundert.
Allerdings habe ich hippias so verstanden:
> Du musst hier auf jeden Fall beruecksichtigen, dass nicht
> alle Faktoren im Produkt moeglich sind: [mm]X= 2[/mm] und [mm]V=1[/mm] kann
> nicht sein. Z.B. ist [mm]XV= 1\iff (X,Y)\in\{(1,1)\}[/mm], [mm]XV= 2\iff (X,Y)\in \{(1,2)\}[/mm]
> und [mm]XV= 4\iff (X,Y)\in \{(1,4),(2,2)\}[/mm] etc. Damit folgt
> [mm]E(XV)= 1\cdot \frac{1}{64}+ 2\cdot \frac{1}{64}+\ldots[/mm].
> Viel Spass beim Rechnen!
Das [mm] X(w_{1})=w_{1}, V(w_{1},w_{2})=max\{w_{1},w_{2}\} [/mm] ist und deswegen immer der 2. Term im Tupel das Maximum sein muss.
Also für (1,1) hätte man 1*1=1 mit Wkt von 1/64 für zB. (2,4) hätte man 2*4=8 für 1/64 bis zu (8,8) mit 8*8=64.
Dann gäbe es nur ein Tupel für das man 64 erhält und zwar (8,8).
Ich habe nur 36 Tupel, da für die anderen bei (i,j) nicht i<j gelten würde.
Und ich habe bei Hippias verstanden, dass dies der Fall sein muss für E(V*W).
Kann aber auch sein das ichs nicht richtig verstanden habe, wie würdest du das denn rechnen, dass du für E(V,W) auf 8 Tupel für 64 kämst?
Erklär mir wie es richtig geht :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 12.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Kann aber auch sein das ichs nicht richtig verstanden habe,
> wie würdest du das denn rechnen, dass du für E(V,W) auf 8
> Tupel für 64 kämst?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was meinst du damit?
Ah verstehe: $(8,1), [mm] (8,2),\dots,(8,8)$
[/mm]
>
> Erklär mir wie es richtig geht :)
>
Laut meiner Tabelle berechne ich die 64 Summanden aus den Produkten von 1. und 4. Spalte:
[mm] $\operatorname{E}[XV]=\frac{1}{64}(1+ [/mm] 4+ [mm] 9+\cdots+ [/mm] 48+ 56+ [mm] 64)=\frac{1842}{64}$.
[/mm]
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