Kostenfunktion bestimmen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 19.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
| Aufgabe | Die folgende Wertetabelle:
Produktionsmenge (bezogen auf Stück) x 0 1 2 3
Kosten (bezogen auf €) K(x) 24 38 40 42
gehört zu einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die die Abhängigkeit der Gesamtkosten K von der Produktionsmenge x bis zur Kapazitätsgrenze 10 ME angibt.
a) Bestimmen Sie den Funktionsterm der Gesamtkostenfunktion K |
Ich sitze jetzt schon lange an dieser Aufgabe dran und habe auch schon im Internet nach Rechenbeispielen für die Berechnung der Kostenfunktion geschaut.
Jedoch kann ich bis jetzt nichts mit diesen Angaben anfangen und weiß im Moment garnicht, wo und wie ich jetzt mit dieser Aufgabe anfangen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen bzw mir einen Tipp geben wie ich am besten anfange.
Mfg,
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Mi 19.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Funktion, die du suchst ist
[mm] K(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
da setzest du nacheinander die Werte von x und K(x9 ein. dann hast du 4 lineare Gleichungen mit den 4 unbekannten a,b,c,d
die du am besten nach dem Gaussverfahren löst.
damit es klar ist schreib ich die 2 te Gleichung hin:
[mm] 38=a*1^3+b*1^3+c*1^3+d
[/mm]
also 38=a+b+c+d
jetzt brauchst du nur noch 3 hinschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 19.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Ich habe jetzt die Gleichungen so gemacht wie du es mir gesagt hast.
Nun habe ich mit dem Gaussverfahren folgende Werte rausbekommen:
a = -20,5
b = 80,5
c = -87
d = 24
Die Matrix vom Gaussverfahren sieht bei mir am Ende so aus:
1 1 1 1 38
0 -4 -6 -7 32
0 0 3 5,5 -129
0 0 0 1 24
Müsste theoretisch alles richtig sein habe auch nochmal nachgeschaut , jedoch ist die richtige Lösung K(x) = 2x³-12x²+24x+24
Woran liegt es das ich dann a,b und c falsch habe, jedoch d mit 24 richtig ist?
(Theoretisch müsste man wenn man doch d richtig hat mit Gauss dann die anderen automatisch auch richtig haben weil man ja mit d anfängt da man von unten nach oben dann auflöst - also erst d , dann c , dann b , dann a)
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Hallo, du hast die Gleichungen
d=24
a+b+c+d=38
8a+4b+2c+d=40
27a+9b+3c+d=42
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 38 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & 40 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 42 \\}
[/mm]
d kannst du sofort aus Zeile 1 ablesen, d=24 ist vollkommen korrekt, was aber nicht zwangsläufig bedeutet, a, b, und c sind auch korrekt, unterwegs hast du bestimmte Umformungen in den Zeilen verbasselt, stelle mal bitte deine Umformungen vor
beginnen kannst du z.B. damit:
bilde eine neue 2. Zeile: 27*2. Zeile - 4. Zeile
bilde eine neue 3. Zeile: 27*3. Zeile - 8*4. Zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 984 \\ 0 & 36 & 30 & 19 & 744 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 42 \\}
[/mm]
nun noch eine neue 2. Zeile basteln, fertig
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 19.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Hier wie ich es gemacht habe: (Ich dachte man kann die Zeilen so verstellen wie man will, deswegen hab ich die mit 0 0 0 1 ganz nach unten gemacht, da ich ja so am wenigsten umformen müsste - geht das nicht?)
1)
1 1 1 1 38
8 4 2 1 40
27 9 3 1 42
0 0 0 1 24
3. Zeile umgeformt: 1.*(-27)+3.
2)
1 1 1 1 38
8 4 2 1 40
0 -18 -24 15
0 0 0 1 24
2. Zeile umgeformt: 1.*(-8)+2.
3)
1 1 1 1 38
0 -4 -6 -7 32
0 -18 -24 -26 15
0 0 0 1 24
3. Zeile umgeformt: 2.*(-4,5)+3.
4)
1 1 1 1 38
0 -4 -6 -7 32
0 0 3 5,5 -129
0 0 0 1 24
Damit habe ich dann das Gaussverfahren gemacht.
Scheint falsch gewesen zu sein ^^
Woran lag es?
(Ich rechne jetzt nochmal mit deiner , vielleicht komm ich dann weiter, jedoch wäre es trotzdem gut wenn ich weiß was ich hierbei falsch gemacht hab)
mfg,
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Hallo, deine Idee, eine neue dritte Zeile zu bilden ist korrekt
1. Spalte: 0 korrekt
2. Spalte: -18 korrekt
3. Spalte: -24 korrekt
4. Spalte: -26 korrekt (hast du aber vergessen zu schreiben)
5. Spalte: 38*(-27)+42=-984
bei dir steht 15
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 19.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Aber dann käme ja bei der 4. Matrix folgendes rauß, wenn ich dann 32*(-4,5)-984 rechne:
1 1 1 1 38
0 -4 -6 -7 32
0 0 3 5,5 -1128
0 0 0 1 24
und diese -1128 können ja auch nicht sein... hm
da kommt beim ausrechnen dann eine noch viel höhere zahl rauß und es müssen laut lösung auch 24 raus kommen. (24x)
Entweder hab ich grad ne Blockade oder irgendwo liegt noch ein Fehler.
p.s. ich habe noch eine Frage zu dem Satz:
bilde eine neue 3. Zeile: 27*3. Zeile - 8*4. Zeile
Wie bist du auf den Multiplikator 8 gekommen bei 8*4. Zeile ?
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Hallo, wir hatten gestern
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 38 \\ 8 & 4 & 2 & 1 & 40 \\ 0 & -18 & -24 & -26 & -984 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\}
[/mm]
jetzt eine neue 2. Zeile bilden: 8 mal Zeile 1 minus Zeile 2
(den Faktor 8 bekommst du aus der 2. Ziele/1. Spalte)
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 38 \\ 0 & 4 & 6 & 7 & 264 \\ 0 & -18 & -24 & -26 & -984 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\}
[/mm]
jetzt ist dein Ziel: 3. Zeile /2. Spalte steht eine Null
multipliziere die 2. Zeile mit 18
multipliziere die 3. Zeile mit 4
die Faktoren bekommst du aus der jeweila anderen Zeile
dann beide Zeilen addieren
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Hi Steffi,
gibt es eigentlich noch eine andere Möglichkeit mit den 4 Gleichungen K(x) rauszubekommen?
Weil das Gaussverfahren haben wir eigentlich noch garnicht gemacht im Unterricht und Ökonomische Aufgaben sind ja eigentlich eine Wiederholung.
Ich weiß nur gerade nicht wie wir es gelöst hatten.
Ich meine etwas mit gleichstellen... weißt du da weiter?
P.S. habe mal weitergerechnet mit Gaussverfahren bekomme aber immernoch das Falsche rauß:
0 0 0 1 24
0 18 24 26 984
0 36 30 19 744
27 9 3 1 42
3. Zeile *36 - 36*2. Zeile
0 0 0 1 24
0 0 216 -252 -8640
0 36 30 19 744
27 9 3 1 42
d = 24
c = -12
b = 18
a hab ich noch nicht ausgerechnet, da die Lösung ja schon komplett anders ist. Dort steht steht das c 24 sein muss.
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Hallo, du hast also wieder die andere Variante aufgegriffen
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\ 0 & 18 & 24 & 26 & 984 \\ 0 & 36 & 30 & 19 & 744 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 42 \\}
[/mm]
jetzt wäre es natürlich wunderbar, in der 2.Zeile/2. Spalte steht eine Null, wir bilden also einen neue 2. Zeile: 2 mal Zeile 2 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 18 & 33 & 1224 \\ 0 & 36 & 30 & 19 & 744 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 42 \\}
[/mm]
so nun überlegen wir uns was dort eigentlich steht:
1. Zeile: 0a+0b+0c+1d=24 also d=24
2. Zeile: 0a+0b+18c+33d=1244 also 18c+33d=1244
3. Zeile: 0a+36b+30c+19d=744 also 36b+30c+19d=744
4. Zeile: 27a+9b+3c+1d=42
aus der 1. Zeile folgt sofort d=24
d=24 in die 2. Zeile einsetzen 18c+33*24=1244 somit c=24
d=24 und c=24 in die 3. Zeile einsetzen 36b+30*24+19*24=744 somit b=-12
d=24 und c=24 und b=-12 in die 4. Zeile einsetzen 27a+9*(-12)+3*24+1*24=42 somit a=2
sicherlich gibt es viele Verfahren ein Gleichungssystem zu lösen, Einsetzverfahren, Additinsverfahren, wenn du aber mal nachdenkst, das haben wir doch gemacht, nur eben alles etwas eleganter aufgeschrieben, ohne die Variablen immer mitzuschleppen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Ok das mit dem Gausschverfahren habe ich jetzt verstanden.
Aber es gibt doch sicherlich auch eine andere Methode wenn man das Gausschverfahren noch nicht kann.
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Hallo, schaue dir mal die Antwort von calli an, Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich gibt es andere Verfahren, bei 2 gl. sind die manchmal überlegen, bei 3 selten. ab 4 ist Gauss praktisch immer das einfachste, es sei denn, dass in einigen Gl. (wie in deiner ersten gleich nur ein oder 2 unbekannte stehen.
Da Gauss auch praktisch auf allen Gymnasien getrimmt wird (etwa Klase 9), ist es eben in der uni oder FH als bekannt vorrausgesetzt. Das muss man nicht "gehabt" haben .
erlaubt ist natürlich jedes verfahren, bei den meisten verrechnet man sich aber noch gründlicher als du hier.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Do 20.05.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> gibt es eigentlich noch eine andere Möglichkeit mit den 4
> Gleichungen K(x) rauszubekommen?
> Weil das Gaussverfahren haben wir eigentlich noch garnicht
> gemacht im Unterricht und Ökonomische Aufgaben sind ja
> eigentlich eine Wiederholung.
Hey, das ist doch nun wahrlich kein Hexenwerk !
[mm] $\left[ 1 \right]: [/mm] K(x=0)=d=24$
[mm] $\left[ 2 \right]: K(x=1)=a+b+c+24=38\; \Rightarrow\; [/mm] a+b+c=14$
[mm] $\left[ 3 \right]: [/mm] K(x=2)=8\ a+4\ b+2\ [mm] c+24=40\; \Rightarrow\; [/mm] 4\ a+2\ b+c=8$
[mm] $\left[ 4 \right]: K(x=3)=...\; \Rightarrow \; [/mm] ...\ +c=...$
$Gl.(3)-Gl.(2)=...$
$Gl.(4)-Gl.(3)=...$
usw.
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Hallo Calli,
unter welchem Begriff finde ich denn diese Vorgehensweise?
Also wie nennt sich dieser mathematische Rechenweg?
Habe jetzt das selbe für a und d rauß, komme aber gerade nicht auf b = -12 und c = 24 , probiere noch etwas rum und suche gerade bei google wie sich das nennt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist das Gaussverfahren, nur da du d gleich weisst nur noch für 3 variable.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Das was Calli vorgerechnet hat ist doch kein Gaussverfahren? *verwirrt*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 20.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hat er noch mal diene gl. hingeschrieben.
2. die erst d=24 überall eingesetzt.
3. Gaussverfahren, nur vielleicht mit umordnen der spalten (unbekannten, wenns dadurch einfacher wird.
Gaussverfahren ist es immer wenn du Zeilen oder deren Vielfache von ner anderen abzeihst oder addierst.
Bei speziellen Systemen lohnt es sich eben, nicht stur vorzugehen, weil man durch umordnen Zeit spart, wenn man zu Fuss rechnet.
Calli hat sein Vorgehen an dein spezielles system angepasst, das kann man also nicht verallgemeinern, insbesondere findest du dasrüber nix in google.
gruss leduart
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Hm merkwürdig.
Ich habe nämlich heute auch mit einem Klassenkameraden gelernt und er hatte mal bei seinem Nachhilfelehrer angerufen und er hat gefragt ob wir das Gaussverfahren können, wir meinten nein haben wir noch nicht gelernt.
Dann hat er es uns so erklärt wie Calli es gemacht hat.
Aber trotzdem weiß ich noch nicht wie ich jetzt nun auf b und c komme :(
Muss ich neue Gleichungen bilden damit ich wieder Subtrahieren kann um dann c/b rauszubekommen oder wie gehts jetzt weiter?
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Hallo, gehen wir auch den Weg von calli
(1) d=24
(2) a+b+c=14
(3) 4a+2b+c=8
(4) 27a+9b+3c=18
(3)-(2) ergibt (5) 3a+b=-6
(4)-3*(3) ergibt (6) 15a+3b=-6
die Gleichungen (5) und (6) sind also ein Gleichungssystem mit zwei Variablen
aus (5) folgt b=-6-3a einsetzen in (6)
15a+3(-6-3a)=-6
15a-18-9a=-6
6a=12
a=2
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 20.05.2010 | | Autor: | xxkEv |
Genau :)
Danke
und wie komm ich dann auf b und c ?
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Hallo, ich hatte geschrieben aus (5) folgt b=-6-3a, du kennst doch schon a=2, also b=-6-3*2=-12, dann eine Gleichung nehmen, a und b einsetzen, um c zu berechnen, Steffi
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