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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 13.08.2009 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit X, Y ~ U(0, 1). Betrachte die Zufallsvariablen U = max(X, Y) und V = min (X, Y). Berechne die Kovarianzen Cov(X, Y) sowie Cov(U, V). |
ich habe zu obiger Aufgabe die Lösung, steige aber einfach nicht dahinter. Was ich bräuchte wäre lediglich eine anschauliche "heuristische" Erklärung.
Ich poste mal die Lösung und schreibe dazu, was ich verstehe und was nicht ;)
1) Cov(X, Y) : hier ist alles klar, da X und Y unabhängig sind, muss die Kovarianz natürlich Null sein:
Cov(X, Y) = E(X [mm] \cdot [/mm] Y) - E(X) [mm] \cdot [/mm] E(Y) = 0
2) Cov(U, V):
Cov(U, V) = Cov(max (X, Y), min (X, Y) // okay
= Cov(X [mm] \vee [/mm] Y, X [mm] \wedge [/mm] Y) // hier setzt es aus! (1)
= E((X [mm] \vee [/mm] Y) (X [mm] \wedge [/mm] Y)) - E(X [mm] \vee [/mm] Y) [mm] \cdot [/mm] E(X [mm] \wedge [/mm] Y) // (2)
okay, so weit mal meine Probleme bisher:
(1): ich verstehe die Notation nicht. Was suchen hier logische Operatoren? Was hat das für eine Bedeutung?
(2): ist wohl der Term bei (1) in die Formel eingesetzt. Verstehe ich sicher, wenn ich (1) verstanden habe.
Weiter gehts also mit der Berechnung der benötigten Erwartungswerte:
E((X [mm] \vee [/mm] Y) (X [mm] \wedge [/mm] Y)) = E(X [mm] \cdot [/mm] Y) = E(X) [mm] \cdot [/mm] E(Y) = [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
(3): (ist soweit klar, da dies aus der Unabhängigkeit von X, Y resultiert)
E(X [mm] \wedge [/mm] Y) = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{(X \wedge Y) f_x(x) f_y(y)dx} dy} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{1}^{X}{x dx} dy} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{y dx} dy} [/mm] = (...) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
(4): hier versteh ich auch nicht den Schritt, liegt aber womöglich auch daran, dass ich die Notation oben schon nicht verstanden habe. Wobei ich die Formel für den Erwartungswert eindeutig erkennen kann :) aber was hat es sich mit den grenzen auf sich?
E(X [mm] \vee [/mm] Y) = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{(X \vee Y) f_x(x) f_y(y)dx} dy} \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{y}{y dx} dy} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{x dx} dy} [/mm] = (...) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = (...) = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
(5) hier versteh ich eigentlich genauso wie bei (4) nichts außer der formel, wie kommt man drauf, was ist (x [mm] \vee [/mm] y) überhaupt, und warum diese Integralgrenzen?
Zum Schluss wird ja dann nur noch eingesetzt. Das lass ich jetzt mal weg ;)
Wenn jemand mir einen völlig anderen Weg präsentieren kann, ist mir auch jederzeit willkommen. Ich möchte nur einen Weg verstehen, um ans Ergebnis kommen zu können.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Matti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Do 13.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit X, Y ~ U(0,
> 1). Betrachte die Zufallsvariablen U = max(X, Y) und V =
> min (X, Y). Berechne die Kovarianzen Cov(X, Y) sowie Cov(U,
> V).
>
> ich habe zu obiger Aufgabe die Lösung, steige aber
> einfach nicht dahinter. Was ich bräuchte wäre lediglich
> eine anschauliche "heuristische" Erklärung.
>
> Ich poste mal die Lösung und schreibe dazu, was ich
> verstehe und was nicht ;)
>
> 1) Cov(X, Y) : hier ist alles klar, da X und Y unabhängig
> sind, muss die Kovarianz natürlich Null sein:
>
> Cov(X, Y) = E(X [mm]\cdot[/mm] Y) - E(X) [mm]\cdot[/mm] E(Y) = 0
Ja.
> 2) Cov(U, V):
>
> Cov(U, V) = Cov(max (X, Y), min (X, Y) // okay
>
> = Cov(X [mm]\vee[/mm] Y, X [mm]\wedge[/mm] Y) //
> hier setzt es aus! (1)
> = E((X [mm]\vee[/mm] Y) (X [mm]\wedge[/mm] Y)) - E(X [mm]\vee[/mm] Y) [mm]\cdot[/mm] E(X [mm]\wedge[/mm]
> Y) // (2)
>
> okay, so weit mal meine Probleme bisher:
> (1): ich verstehe die Notation nicht. Was suchen hier
> logische Operatoren? Was hat das für eine Bedeutung?
Das ist eine andere Schreibweise fuer Minimum und Maximum. Die Bezeichnungen stammen aus der ![[]](/images/popup.gif) Verbandstheorie. Es ist $X [mm] \vee [/mm] Y$ das Maximum.
> (2): ist wohl der Term bei (1) in die Formel eingesetzt.
> Verstehe ich sicher, wenn ich (1) verstanden habe.
Genau, da wird nur eingesetzt.
> Weiter gehts also mit der Berechnung der benötigten
> Erwartungswerte:
>
> E((X [mm]\vee[/mm] Y) (X [mm]\wedge[/mm] Y)) = E(X [mm]\cdot[/mm] Y) = E(X) [mm]\cdot[/mm]
> E(Y) = [mm]\bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> (3): (ist soweit klar, da dies aus der Unabhängigkeit von
> X, Y resultiert)
Es ist [mm] $\max\{ X, Y \} \min\{ X, Y \} [/mm] = X Y$.
> E(X [mm]\wedge[/mm] Y) = [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{(X \wedge Y) f_x(x) f_y(y)dx} dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{1}^{X}{x dx} dy}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{y dx} dy}[/mm] = (...) =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> (4): hier versteh ich auch nicht den Schritt, liegt aber
> womöglich auch daran, dass ich die Notation oben schon
> nicht verstanden habe. Wobei ich die Formel für den
> Erwartungswert eindeutig erkennen kann :) aber was hat es
> sich mit den grenzen auf sich?
Du unterteilst den Integrationsbereich $[0, 1] [mm] \times [/mm] [0, 1]$ in zwei Dreiecke: eins auf der $x [mm] \ge [/mm] y$ und eins auf dem $x [mm] \le [/mm] y$ ist.
> E(X [mm]\vee[/mm] Y) = [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{(X \vee Y) f_x(x) f_y(y)dx} dy} \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{y}{y dx} dy}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{x dx} dy}[/mm] = (...) =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = (...) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> (5) hier versteh ich eigentlich genauso wie bei (4) nichts
> außer der formel, wie kommt man drauf, was ist (x [mm]\vee[/mm] y)
> überhaupt, und warum diese Integralgrenzen?
Genau das gleiche wie grad.
LG Felix
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