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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Kovarianzmatrix Univariate
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Kovarianzmatrix Univariate: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Fr 19.07.2019
Autor: magics

Aufgabe
Jede beliebige Definition, wie man eine Kovarianzmatrix berechnet, beginnt zunächst mit einem Spaltenvektor:

[mm] $\displaystyle \mathbf [/mm] {X} [mm] =(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{\mathrm {T} }$ [/mm]

Damit wird das die Kovarianzmatrix definiert:

[mm] $\displaystyle \operatorname [/mm] {K} [mm] _{X_{i}X_{j}}=\operatorname [/mm] {cov} [mm] [X_{i},X_{j}]=\operatorname [/mm] {E} [mm] [(X_{i}-\operatorname [/mm] {E} [mm] [X_{i}])(X_{j}-\operatorname [/mm] {E} [mm] [X_{j}])]$ [/mm]


Hallo und guten Abend,

ich verstehe das Konzept der Kovarianzmatrix am Beispiel einer univariaten Zufallsvariablen nicht. Ich dachte bisher, dass man Kovarianz immer nur an zwei- oder höherdimensionalen Datensätzen berechnen kann. Dafür gäbe es dann ja auch diese Darstellung zwei Dimensionen: [mm] $\displaystyle \operatorname [/mm] {Cov} [mm] (\mathbf [/mm] {x} [mm] ,\mathbf [/mm] {y} [mm] )=\operatorname [/mm] {E} [mm] {\bigl (}(\mathbf [/mm] {x} [mm] -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf [/mm] {y} [mm] -{\boldsymbol {\nu }})^{\top }{\bigr )}$ [/mm]

Bei einer univariaten Datenmenge hat man doch einfach nur irgendwelche Zahlen... wo soll da Korrelation herkommen? Ich kann diese ja nur entlang einer Dimension betrachten..?

Beste Grüße
Thomas


        
Bezug
Kovarianzmatrix Univariate: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:14 Sa 20.07.2019
Autor: magics

Nachdem ich ein Beispiel selbst gerechnet habe, stelle ich fest, dass der Spaltenvektor $ [mm] \displaystyle \mathbf [/mm] {X} [mm] =(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{\mathrm {T} } [/mm] $ ein Vektor von Zufallsvariablen meint und wir damit gar keine univariate Reihe haben... macht ja auch sowas von keinen Sinn.

Bezug
        
Bezug
Kovarianzmatrix Univariate: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Sa 20.07.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

auch wenn du deine Frage (fast) selbst beantwortet hast, noch eine etwas ausführlichere Antwort:

Nehmen wir also an du hast eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von univariaten Zufallswerten.
Man koennte nun annehmen, dass dies alle Realisierungen einer Zufallsvariablen X sind, zu unterschiedlichen [mm] $\omega$s, [/mm] also: [mm] $x_i [/mm] = [mm] X(\omega_i)$ [/mm]

In diesem Fall ist dein Einwand berechtigt, man kann keine Kovarianz von einer einzigen Zufallsvariablen berechnen.

Im Allgemeinen nimmt man aber an, dass die [mm] x_i [/mm] Realisierungen sind von verschiedenen Zufallsvariablen, die alle derselben Verteilung unterliegen, zum selben [mm] $\omega$. [/mm]
D.h. [mm] $x_i [/mm] = [mm] X_i(\omega)$ [/mm]

Und dann kannst du natürlich die Kovarianz der obigen [mm] $X_i$ [/mm] bestimmen.

Gruss,
Gono

Bezug
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