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| Aufgabe | | Man zeige, dass die Folge [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{2+a_{n}} [/mm] , [mm] a_{1}=4 [/mm] konvergent ist und berechne ihren Grenzwert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab leider keine Ahnung, was und wie ich das machen muss. Über eine Lösung mit Zwischenschritten wäre ich sehr sehr dankbar!
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Hallo Benjamin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich hab leider keine Ahnung, was und wie ich das machen
> muss. Über eine Lösung mit Zwischenschritten wäre ich sehr
> sehr dankbar!
Da du ein "Neuer" bist, weise ich mal denzent auf die Forenregeln hin, die dir ja lediglich ein geringes Maß an eigenen Ideen oder Ansätzen abnötigen.
Du hast nix davon, wenn dir das jemand stumpf vorrechnet...
So nun aber zur Aufgabe 
Schau mal im Skript nach, was ihr zu (konvergenten) Folgen so alles aufgeschrieben habt.
Da solltest du etwas finden in der Art "monotone und beschränkte Folgen sind konvergent"
Also musst du nachweisen, dass deine rekursiv definierte Folge monoton (fallend oder steigend) und beschränkt ist.
Berechne mal ein paar Folgenglieder, dann solltest du einen Verdacht bekommen...
Diesen musst du dann untermauern, indem du ihn beweist - vollst. Induktion ist da immer angebracht.
Geh's mal an und tue dann ein paar eigene Ansätzte kund
LG
schachuzipus
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Also wenn ich ein Folgeglied einsetze (in diesem Fall) 1, so erhalte ich bei mir
[mm] a_n+1 -a_n> [/mm] 0. Aber wie soll ich diesen Ansatz denn noch weiter beweisen und ist das jetzt meine Voraussetzung, dass die Folge konvergent ist? MFG
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Hallo nochmal,
> Also wenn ich ein Folgeglied einsetze (in diesem Fall) 1,
> so erhalte ich bei mir
> [mm]a_{n+1} -a_n>[/mm] 0.
Umgekehrt! Zu zeigen ist, dass die Folge monoton fallend ist, also dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_{n+1}
Oder äquivalent [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$
[/mm]
> Aber wie soll ich diesen Ansatz denn noch
> weiter beweisen und ist das jetzt meine Voraussetzung, dass
> die Folge konvergent ist? MFG
Zeige zuerst die Beschränktheit, dann ergibt sich das monotone Fallen fast von selbst
Wenn du mal 4 Folgenglieder berechnet hast, müsste dir der Verdacht kommen, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch .....?
Das zeige per vollst. Induktion, also zu zeigen:
[mm] $\forall n\in\IN [/mm] : [mm] a_n>.....$
[/mm]
Wenn du das hast, ist der Monotoniebeweis [mm] ($\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$) [/mm] einfach, weil du genau diese Abschätzung für die Beschränktheit benutzen kannst
Also wie ist wohl die untere Schranke?
LG
schachuzipus
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