Krasner Lemma < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:25 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
ich hoffe es gibt einen Mathematiker, der sich in dem Gebiet auskennt. Und zwar habe ich eine Frage zur weiteren Verwendungsmöglichkeiten des Krasner Lemma in der p-adischen Theorie, das lautet:
Es seien [mm] \overline{Q}_p [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] \IQ_p, [/mm] | [mm] |_p [/mm] fortgesetzt auf [mm] \overline{\IQ}_p, [/mm] sei a [mm] \in \overline{\IQ}_p [/mm] und seien [mm] a_i [/mm] die algebraischen Konjugierten von a, [mm] a_i \not= [/mm] a. [mm] \forall [/mm] b [mm] \in \overline{\IQ}_p [/mm] gilt dann:
[mm] |b-a|_p [/mm] < [mm] |a_i [/mm] - [mm] a|_p \forall [/mm] i [mm] \Rightarrow \IQ_p(a) \subset \IQ_p(b).
[/mm]
Es besagt also, dass eine Körpererweiterung von a erzeugt in einem vom b erzeugtem enthalten ist, wenn nur b näher bei a liegt als alle Konjugierten von a. Wir haben das Lemma auch verwendet um zu zeigen, dass [mm] \IC_p, [/mm] die Vervollstädigung [mm] \IQ_p [/mm] bzgl | [mm] |_p, [/mm] von vollständig und algebraisch abgeschlossen ist.
Sind das die einzigen Verwendungen und Aussagen oder kann man damit noch mehr machen?
Viele Grüße,
Joan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Fr 27.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Joan,
> ich hoffe es gibt einen Mathematiker, der sich in dem
> Gebiet auskennt. Und zwar habe ich eine Frage zur weiteren
> Verwendungsmöglichkeiten des Krasner Lemma in der
> p-adischen Theorie, das lautet:
gut auskennen tu ich mich damit nicht, aber vielleicht kann ich dir trotzdem weiterhelfe.
> Es besagt also, dass eine Körpererweiterung von a erzeugt
> in einem vom b erzeugtem enthalten ist, wenn nur b näher
> bei a liegt als alle Konjugierten von a. Wir haben das
> Lemma auch verwendet um zu zeigen, dass [mm]\IC_p,[/mm] die
> Vervollstädigung [mm]\IQ_p[/mm] bzgl | [mm]|_p,[/mm] von vollständig und
Du meinst [mm] $\overline{\IQ_p}$.
[/mm]
> algebraisch abgeschlossen ist
> Sind das die einzigen Verwendungen und Aussagen oder kann
> man damit noch mehr machen?
Laut der ![[]](/images/popup.gif) englischen Wikipedia kann man damit zeigen, dass der Galoisabschluss mit der Vervollstaendigung kommutiert: ist $L / K$ eine endliche Erweiterung globaler Koerper (Zahlkoerper oder Funktionenkoerper mit endlichem Konstantenkoerper) und [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] eine Stelle von $L$, und ist $M$ der Galoisabschluss von $L$ ueber $K$, so ist [mm] $M_\mathfrak{p}$ [/mm] der Galoisabschluss von [mm] $L_\mathfrak{p}$ [/mm] ueber [mm] $K_\mathfrak{p}$.
[/mm]
(Eine gewisse Aehnlichkeit zur Aussage ueber algebraische Abschluesse ist natuerlich klar.)
Schau auch mal hier. Da findest du einige Vorkommen, die dir vielleicht einige neue Beispiele liefern.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Joan2 |
ok, danke ^^
Dann les ich mir mal alles durch :)
|
|
|
|
