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Kreis-Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 So 02.07.2017
Autor: rabilein1

Aufgabe
Es soll gezeigt werden, wie der Kreis

[mm] \left(x + \bruch{1}{8}\right)^{2} [/mm] + [mm] \left(y - \bruch{1}{4}\right)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{53}{64} [/mm]

durch die Funktion

w = [mm] \bruch{1}{2}\left(z + \bruch{1}{z}\right) [/mm]

abgebildet wird.

Lang lang lang ist's her. Das war vor mehr als 45 Jahren mal eine Hausaufgabe kurz vorm Abitur.

Nach so langer Zeit wüsste ich nicht mehr, wie das geht.

Werden derartige Aufgaben eigentlich heute auch noch in Abi-Klassen gestellt oder ist ds eher was für's Mathe-Sudium.

Ach ja, eine Lösung dazu habe ich auch (ich hoffe jedenfalls, dass das richtig ist, wie ich das DAMALS konstruiert hatte)

[Dateianhang nicht öffentlich]



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Kreis-Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 So 02.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Es soll gezeigt werden, wie der Kreis
>  
> [mm]\left(x + \bruch{1}{8}\right)^{2}[/mm] + [mm]\left(y - \bruch{1}{4}\right)^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{53}{64}[/mm]
>  
> durch die Funktion
>
> w = [mm]\bruch{1}{2}\left(z + \bruch{1}{z}\right)[/mm]
>  
> abgebildet wird.
>  Lang lang lang ist's her. Das war vor mehr als 45 Jahren
> mal eine Hausaufgabe kurz vorm Abitur.
>
> Nach so langer Zeit wüsste ich nicht mehr, wie das geht.
>
> Werden derartige Aufgaben eigentlich heute auch noch in
> Abi-Klassen gestellt oder ist ds eher was für's
> Mathe-Sudium.
>  
> Ach ja, eine Lösung dazu habe ich auch (ich hoffe
> jedenfalls, dass das richtig ist, wie ich das DAMALS
> konstruiert hatte)
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
>  


Hallo Rabilein,

ich vermute mal, dass die Funktion w sich auf eine komplexe Abbildung bezieht und der Kreis in der komplexen Ebene liegt.

Dann könnte man so vorgehen: Zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis zeichnet man den Pfeil vom Ursprung aus. Dieser hat den komplexen Wert [mm] z=r*e^{i\varphi} [/mm] mit dem Winkel [mm] \varphi [/mm] zur x-Achse. Dann ist [mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{r}*e^{-i\varphi}, [/mm] der Pfeil hat den Winkel [mm] -\varphi [/mm] zur x-Achse und die reziproke Länge des vorhergehenden Pfeils. w liegt dann auf der Mitte der Verbindungsstrecke der beiden Pfeilspitzen.

Nehmen wir mal Punkt 8: P(0,3|-0,5546). Der Winkel vom Ursprung beträgt -61,6°, der Abstand 0,63. Dann Ist der Kehrwert des Abstandes 1,586, mit dem dazugehörigen Winkel 61,6° gibt das den zweiten Punkt Q(0,754|1,395). In der Mitte dazwischen liegt dann M(0,527|0,42) auf deiner blauen Linie (etwas zu tief eingezeichnet).

Der Punkt 1 (0,75|0) auf der x-Achse mit dem Partner (1,33|0) führt auf (1,04|0), was sehr schön zu erkennen ist.

Die Bedeutung der von dir eingezeichneten Strahlen aus dem Ursprung kann ich nicht erkennen, sie führen nicht auf von dir markierte Punkte, zu den Winkeln lassen sich i.a. auch nicht die negativen Partnerwinkel finden.

Bezug
                
Bezug
Kreis-Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Mo 03.07.2017
Autor: rabilein1

Unter der Figur fand ich folgenden Hinweis (hatte ich zuerst gar nicht gesehen, da ich nur auf die Flügel-Figur geschaut hatte):

1. Spiegelung an der x-Achse
2. Spiegelung am Einheitskreis (der ist ganz dünn eingezeichnet)
3. Addition von z (mit dem Hinweis z [mm] \hat= [/mm] P)
4. Division durch 2

und ich hatte das Ganze sogar überschrieben mit "Joukowski Transformation).



Das sind nun schon mehr als 45 Jahre her, und seitdem hatte ich mit alledem gar nichts mehr zu tun - so wie ich anschließend mit der ganzen Mathematik mehr als 30 Jahre nichts mehr zu tun hatte.

Heutzutage wird in der Schule mehr Stochastik, Statistik Wahrscheinlicheitsrechnung gemacht, was wir seinerzeit überhaupt nicht im Unterricht hatten .

Bezug
        
Bezug
Kreis-Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 So 02.07.2017
Autor: fred97


> Es soll gezeigt werden, wie der Kreis
>  
> [mm]\left(x + \bruch{1}{8}\right)^{2}[/mm] + [mm]\left(y - \bruch{1}{4}\right)^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{53}{64}[/mm]
>  
> durch die Funktion
>
> w = [mm]\bruch{1}{2}\left(z + \bruch{1}{z}\right)[/mm]
>  
> abgebildet wird.
>  Lang lang lang ist's her. Das war vor mehr als 45 Jahren
> mal eine Hausaufgabe kurz vorm Abitur.

Hallo Rabilein,

mein Abi ist jetzt 40 Jahre her, aber konforme  Abbildungen gehörten  damals nicht

zum  Schulstoff.



>
> Nach so langer Zeit wüsste ich nicht mehr, wie das geht.
>
> Werden derartige Aufgaben eigentlich heute auch noch in
> Abi-Klassen gestellt


nein

oder ist ds eher was für's

> Mathe-Sudium.

ja, da gehört das hin. Wichtig auch für Ingenöööre


>  
> Ach ja, eine Lösung dazu habe ich auch (ich hoffe
> jedenfalls, dass das richtig ist, wie ich das DAMALS
> konstruiert hatte)
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  

Das Bild sieht gut aus, wie das Profil eines Flügels,  so muss es auch sein.

Wirf Google an, gib "Joukowski - Funktion " ein und Du kannst loslegen

Fred


>  


Bezug
                
Bezug
Kreis-Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Mo 03.07.2017
Autor: rabilein1


> Hallo Rabilein,
>
> mein Abi ist jetzt 40 Jahre her, aber konforme  Abbildungen
> gehörten  damals nicht
>
> zum  Schulstoff.


Hallo Fred,
damals vor 40 Jahren gab es in Deutschland noch weniger einheitlichen Schulstoff als es ihn heute gibt.

In der 9. Klasse (!!) hatte uns so ein Doktor der Mathematik was über Determinanten erzählt. Niemand hat verstanden, was das überhaupt ist und was das soll, aber wir haben eine Klassenarbeit darüber geschrieben.

Zum Beispiel [mm] \vmat{ 10 & 5 \\ 7 & 3 } [/mm]

und wenn man noch wusste, was man womit multiplizieren und subtrahieren muss und dann richtig ausgerechnet hat, dann war man der Mathe-King. So lief das ab.



Bezug
                        
Bezug
Kreis-Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Mo 03.07.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

dass Determinanten bereits in der Mittelstufe auftauchen, ist nicht ungewöhnlich.

>
> In der 9. Klasse (!!) hatte uns so ein Doktor der
> Mathematik was über Determinanten erzählt. Niemand hat
> verstanden, was das überhaupt ist und was das soll, aber
> wir haben eine Klassenarbeit darüber geschrieben.
>
> Zum Beispiel [mm]\vmat{ 10 & 5 \\ 7 & 3 }[/mm]
>
> und wenn man noch wusste, was man womit multiplizieren und
> subtrahieren muss und dann richtig ausgerechnet hat, dann
> war man der Mathe-King. So lief das ab.


Klingt für mich nach einer geschenkten Note.

LG,
ChopSuey


Bezug
                                
Bezug
Kreis-Abbildung: Determinanten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Mo 03.07.2017
Autor: rabilein1


> Hallo,
>  
> dass Determinanten bereits in der Mittelstufe auftauchen, ist nicht ungewöhnlich.

Wie man so etwas ausrechnet, ist nicht das große Problem.
Aber bis heute habe ich nicht verstanden, wofür man das im Alltagsleben braucht - also ich meine, wenn man nicht gerade Mathematiker, Physiker oder sonstiger Wissenschaftler ist.  


Bezug
        
Bezug
Kreis-Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 So 02.07.2017
Autor: rabilein1

Danke für eure Antworten.

Ich habe im Internet die Joukowski-Funktion gefunden.

Da bin ich ja beruhigt, dass es sich um ein Flügel-Profil handelt. Ein Bekannter, dem ich das Foto zeigte, fragte, ob mein Mathelehrer ein "schräger Vogel" gewesen sei, weil er die Schüler so etwas "Unanständiges" zeichnen lässt.

Honi soit qui mal y pense.

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