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| Aufgabe | Geraden // in [mm] \IC [/mm]
Verschiedene Formen von Geradengleichungen:
1.) y=mx+q
(x,y,m,q [mm] \in \IR)
[/mm]
2.) [mm] \overline{b}z+b\overline{z}+c=0
[/mm]
(b,z [mm] \in \IC, [/mm] c [mm] \in \IR)
[/mm]
3.) z=a+t*d
(z,a,d [mm] \in \IC, [/mm] t [mm] \in \IR)
[/mm]
Kreise // in [mm] \IC [/mm]
Verschieden Formen von Kreisgleichungen:
1.) [mm] (x-m_{x})^{2}+(y-m_{y})^{2}=r^{2}
[/mm]
[mm] (x,y,m_{x},m_{y} \in \IR, [/mm] r [mm] \in \IR_{0}^{+})
[/mm]
2.) |z-m|=r
(z,m [mm] \in \IC, [/mm] r [mm] \in \IR_{0}^{+})
[/mm]
3.) [mm] z\overline{z}+\overline{m}z+m\overline{z}+c=0
[/mm]
(z,m [mm] \in \IC, [/mm] c [mm] \in \IR)
[/mm]
4.) [mm] z=m+r*(cos\alpha+sin\alpha*i) [/mm] Parameterdarstellung
(z,m [mm] \in \IC, [/mm] r [mm] \in \IR_{0}^{+}, \alpha \in [0,2*\pi[) [/mm] |
Ich suche konkrete Umformungen der Gleichungen wie diese(wenn sie denn überhaupt stimmt):
1. Geradengleichung in 2. umwandeln:
y=m*x+q (1.Geradengleichung;x,y,m,q [mm] \in \IR) \to [/mm] Im(z)=m*Re(z)+q [mm] \to [/mm]
[mm] \bruch{1}{2i}*(z-\overline{z})=m*\bruch{1}{2}*(z+\overline{z})+q \to [/mm]
[mm] \bruch{1}{2i}z-\bruch{1}{2i}\overline{z}=\bruch{1}{2}zm+\bruch{1}{2}\overline{z}m+q \to [/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{2}zm-\bruch{1}{2i}z+\bruch{1}{2}\overline{z}m+\bruch{1}{2i}\overline{z}+q \to [/mm]
[mm] 0=z*(\bruch{1}{2}m-\bruch{1}{2i})+\overline{z}*(\bruch{1}{2}m+\bruch{1}{2i})+q [/mm]
[mm] \hat= \overline{b}z+b\overline{z}+c [/mm] =0 (2.Geradengleichung;
b [mm] \hat= \bruch{1}{2}m+\bruch{1}{2i},z \in \IC, [/mm] c [mm] \hat= [/mm] q [mm] \in \IR)
[/mm]
Wie wandelt man die anderen Gleichungen ineinander um?
Danke euch für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Gib die Umwandlungsschritte der Kreisgleichung an:
k: |z-3| = 1 [mm] \to [/mm] k: [mm] (z-3)(\overline{z}-3)=1 [/mm] |
Ich weiss nicht wie ich da vorgehen soll.
Könntet ihr mir das vielleicht einmal vorrechnen?
Wenn ihr mir auch noch erklären könntet warum man so rechnen muss wäre das bombastisch!^^
Danke!
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> Gib die Umwandlungsschritte der Kreisgleichung an:
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> k: |z-3| = 1 [mm]\to[/mm] k: [mm](z-3)(\overline{z}-3)=1[/mm]
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> Ich weiss nicht wie ich da vorgehen soll.
>
> Könntet ihr mir das vielleicht einmal vorrechnen?
> Wenn ihr mir auch noch erklären könntet warum man so
> rechnen muss wäre das bombastisch!^^
>
> Danke!
Hallo Mathhoover,
was du hier zunächst brauchst, ist die Gleichung $\ |z|\ =\ [mm] \sqrt{z*\overline{z}}$
[/mm]
Falls du die noch nicht kennen solltest, kannst du sie leicht
selber herleiten.
Wende diese Gleichung dann statt auf |z| auf |z-3| an !
LG Al-Ch.
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Danke für die Antwort!
Ich habe trotzdem etwas noch nicht verstanden:Ich kann |z-3| nicht auf |z| anwenden! Meint das einfach dass ich |z-3| für |z| in diese Gleichung $ \ |z|\ =\ [mm] \sqrt{z\cdot{}\overline{z}} [/mm] $ einsetzen muss?
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> Danke für die Antwort!
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> Ich habe trotzdem etwas noch nicht verstanden:Ich kann
> |z-3| nicht auf |z| anwenden! Meint das einfach dass ich
> |z-3| für |z| in diese Gleichung [mm]\ |z|\ =\ \sqrt{z\cdot{}\overline{z}}[/mm]
> einsetzen muss?
$\ |z|\ =\ [mm] \sqrt{z*\overline{z}}$
[/mm]
also:
$\ |z-3|\ =\ [mm] \sqrt{(z-3)*\overline{z-3}}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{(z-3)*(\overline{z}-3)}$
[/mm]
Du hattest die Gleichung $\ |z-3|\ =\ 1$
Die kannst du nun ganz leicht quadrieren und dann wenn
nötig weiter umformen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mo 11.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kreis:
mit z=x+iy
[mm]z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2[/mm]
zu Geraden: auch im reellen gilt
[mm]\vektor{x\\
y}=\vektor{a,\\
b}+t*\vektor{c\\
d}[/mm]
das kannst du leicht in y=mx+b1 umformen und umgekehrt, damit auch die Parameterform
auch reell gilt Kreis in parameter oder vektorform
[mm]\vektor{x\\
y}=\vektor{m_x\\
m_y}+r*\vektor{cos(t)\\
sin(t)}[/mm] siehst du leicht, wenn du [mm](x-m_x)^2+(y-m_y)^2[/mm] bildest
Gruss leduart
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