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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende Form hat.
r(t) = [mm] \vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}
[/mm]
Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser FUnktion: r = 6*sin(t) um einen Kreis handelt. leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen
Denn:
x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
y(t) = [mm] 6*sin^2(t)
[/mm]
Also
r(t) = [mm] \vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)}
[/mm]
Aber das sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der oben erwähnten Form vergleiche?
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 30.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende
> Form hat.
Haben kann!
>
> r(t) = [mm]\vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}[/mm]
SO wird beschrieben, wie bei linear wachsendem t der überstrichene Winkel / die Bogenlänge ebenfalls linear wächst.
"r(t)" ist übrigens überflüssig, weil hier r nicht von t abhängt und immer konstant ist.
"r=..." würde hier genügen.
>
> Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser FUnktion: r =
> 6*sin(t) um einen Kreis handelt. leider kann ich das nicht
> ganz nachvollziehen
> Denn:
>
> x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
> y(t) = [mm]6*sin^2(t)[/mm]
Der Bezugspunkt bei dieser Darstellung ist NICHT der Kreismittelpunkt, sondern der "untere Randpunkt" des Kreises als Startpunkt. Mit gleichmäßig wachsendem t wächst die Bogenlänge sehr ungleichmäßig (erst langsam, dann schnell, dann wieder langsamer).
Es ist halt ein völlig anderes Konzept.
Gruß Abakus
>
> Also
> r(t) = [mm]\vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)}[/mm]
> Aber das
> sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der
> oben erwähnten Form vergleiche?
>
> Danke, Gruss Kuriger
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> > Hallo
> >
> > Ich weiss, dass ein Kreis in Parameterform die folgende
> > Form hat.
> Haben kann!
> >
> > r(t) = [mm]\vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}[/mm]
> SO wird
> beschrieben, wie bei linear wachsendem t der überstrichene
> Winkel / die Bogenlänge ebenfalls linear wächst.
> "r(t)" ist übrigens überflüssig, weil hier r nicht von
> t abhängt und immer konstant ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> "r=..." würde hier genügen.
Durchaus nicht. Aber Kuriger sollte auch in seiner Schreib-
weise klar machen, dass er mit r(t) nun den Ortsvektor
meint, also:
[mm] $\vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{x_m + r*cos(t) \\ y_m + r*sin(t)}$
[/mm]
> > Nun sehe ich im Skript, dass es bei dieser Funktion: r = 6*sin(t)
> > um einen Kreis handelt.
Bei diesem "r" handelt es sich um die skalare, vom Polar-
winkel t abhängige Größe $\ r(t)$
> > leider kann ich das nicht ganz nachvollziehen
> > Denn:
> >
> > x(t) = 6*sin(t) * cos(t)
> > y(t) = [mm]6*sin^2(t)[/mm]
> Der Bezugspunkt bei dieser Darstellung ist NICHT der
> Kreismittelpunkt, sondern der "untere Randpunkt" des
> Kreises als Startpunkt. Mit gleichmäßig wachsendem t
> wächst die Bogenlänge sehr ungleichmäßig (erst langsam,
> dann schnell, dann wieder langsamer).
> Es ist halt ein völlig anderes Konzept.
> Gruß Abakus
> >
> > Also
> > r(t) = [mm]\vektor{6*sin(t) * cos(t) \\ 6*sin^2(t)}[/mm]
> >
> Aber das
> > sieht ja nicht nach einem kreis aus, wenn ich dies mit der
> > oben erwähnten Form vergleiche?
> >
> > Danke, Gruss Kuriger
>
Durch trigonometrische Umformungen kann man zeigen:
$\ x(t)\ =\ 6*sin(t)*cos(t)\ =\ 0+3*cos(s)$
$\ y(t)\ =\ [mm] 6*sin^2(t)\ [/mm] =\ 3+3*sin(s)$
wobei $\ s:=\ [mm] 2\,t-\frac{\pi}{2}$ [/mm] (nur eine lineare Transformation)
Damit wird die Kreisdarstellung in kartesischen Koordinaten
sichtbar: Mittelpunkt M(0/3) , Radius 3
LG Al-Chw.
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