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| Aufgabe | Der Punkt P (-4/9) liegt außerhalb des Kreises k: [mm] x^2+y^2-12x-8y+27=0
[/mm]
a) Bestimme die Gleichungen der Tangenten, die von P aus an k gelegt werden können.
b) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von der Kreislinie k und den beiden Tangenten y=9 und 4x+3y=11 eingeschlossen wird. |
Mein Versuch:
P(-4/9)
k: [mm] x^2+y^2-12x-8y+27=0
[/mm]
M (6/4)
[mm] r^2=25
[/mm]
Nun eine Gleichung mit den Werten von P aufstellen:
9=-4k+d
d=9+4k
Jetzt in die Berührbedingungen des Kreises einsetzen:
[mm] (6k-4+9+4k)^2= [/mm] 25* [mm] (k^2+1)
[/mm]
[mm] (10k+5)^2=25k+25
[/mm]
[mm] 100k^2+100k+25=25k^2+25
[/mm]
[mm] 75k^2+100k=0
[/mm]
75k=k*(-100)
k1=0
[mm] k2=\bruch{-100}{75}
[/mm]
d1=9
[mm] d2=\bruch{275}{75}
[/mm]
t1: y=9
t2: [mm] y=\bruch{-100x}{75}*\bruch{275}{75}
[/mm]
Meine Frage ist nun jedoch, wie ich mir b) berechne, da ich wirklich keine Ahnung habe, wie ich das angehen soll? Ich bitte um Hilfe. Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 So 13.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Der Punkt P (-4/9) liegt außerhalb des Kreises k:
> [mm]x^2+y^2-12x-8y+27=0[/mm]
> a) Bestimme die Gleichungen der Tangenten, die von P aus
> an k gelegt werden können.
> b) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von der
> Kreislinie k und den beiden Tangenten y=9 und 4x+3y=11
> eingeschlossen wird.
> Mein Versuch:
> P(-4/9)
> k: [mm]x^2+y^2-12x-8y+27=0[/mm]
> M (6/4)
> [mm]r^2=25[/mm]
>
> Nun eine Gleichung mit den Werten von P aufstellen:
> 9=-4k+d
> d=9+4k
>
> Jetzt in die Berührbedingungen des Kreises einsetzen:
> [mm](6k-4+9+4k)^2=[/mm] 25* [mm](k^2+1)[/mm]
> [mm](10k+5)^2=25k+25[/mm]
> [mm]100k^2+100k+25=25k^2+25[/mm]
> [mm]75k^2+100k=0[/mm]
> 75k=k*(-100)
>
> k1=0
> [mm]k2=\bruch{-100}{75}[/mm]
> d1=9
> [mm]d2=\bruch{275}{75}[/mm]
>
> t1: y=9
> t2: [mm]y=\bruch{-100x}{75}*\bruch{275}{75}[/mm]
Das sieht gut aus, du solltest aber [mm] t_{2}(x) [/mm] noch kürzen
[mm] t_{2}(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}
[/mm]
>
> Meine Frage ist nun jedoch, wie ich mir b) berechne, da ich
> wirklich keine Ahnung habe, wie ich das angehen soll?
Mach dir zuerst mal eine Skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Berechne zuerst die Fläche des Dreiecks [mm] PB_{1}B_{2}, [/mm] das ist hier recht schnell zu machen, da eine Seite achsenparallel ist.
Davon subtrahiere dann die Fläche des Kreissegmentes, was von der durch [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] verlaufenden Sehne s begrenzt wird.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alternativ kannst du das auch über die Integralrechnung lösen, die hellbllaue Fläche kannst du über ein normales Dreieck lösen. Die beiden dunkelblauen Flächen kannst du durch Integrale lösen, wenn du k umschreibst:
[mm] $x^2+y^2-12x-8y+27=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (x-6)^2+(y-4)^2=25$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (y-4)^2=25-(x-6)^2$
[/mm]
Also golt für den oberen Halbkreis
[mm] $y=4+\sqrt{25-(x-6)^2}$
[/mm]
und für den unteren Halbkreis
[mm] $y=4\red{-}\sqrt{25-(x-6)^2}$
[/mm]
Nun kannst du die Schnittflächen zwischen den Halbkreisfunktionen und den Tangenten wie üblich berechnen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 13.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Der Punkt P (-4/9) liegt außerhalb des Kreises k:
> > [mm]x^2+y^2-12x-8y+27=0[/mm]
> > a) Bestimme die Gleichungen der Tangenten, die von P
> aus
> > an k gelegt werden können.
> > b) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von der
> > Kreislinie k und den beiden Tangenten y=9 und 4x+3y=11
> > eingeschlossen wird.
> > Mein Versuch:
> > P(-4/9)
> > k: [mm]x^2+y^2-12x-8y+27=0[/mm]
> > M (6/4)
> > [mm]r^2=25[/mm]
> >
> > Nun eine Gleichung mit den Werten von P aufstellen:
> > 9=-4k+d
> > d=9+4k
> >
> > Jetzt in die Berührbedingungen des Kreises einsetzen:
> > [mm](6k-4+9+4k)^2=[/mm] 25* [mm](k^2+1)[/mm]
> > [mm](10k+5)^2=25k+25[/mm]
> > [mm]100k^2+100k+25=25k^2+25[/mm]
> > [mm]75k^2+100k=0[/mm]
> > 75k=k*(-100)
> >
> > k1=0
> > [mm]k2=\bruch{-100}{75}[/mm]
> > d1=9
> > [mm]d2=\bruch{275}{75}[/mm]
> >
> > t1: y=9
> > t2: [mm]y=\bruch{-100x}{75}*\bruch{275}{75}[/mm]
>
> Das sieht gut aus, du solltest aber [mm]t_{2}(x)[/mm] noch kürzen
>
> [mm]t_{2}(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}[/mm]
>
>
> >
> > Meine Frage ist nun jedoch, wie ich mir b) berechne, da
> ich
> > wirklich keine Ahnung habe, wie ich das angehen soll?
>
> Mach dir zuerst mal eine Skizze.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Berechne zuerst die Fläche des Dreiecks [mm]PB_{1}B_{2},[/mm] das
> ist hier recht schnell zu machen, da eine Seite
> achsenparallel ist.
> Davon subtrahiere dann die Fläche des Kreissegmentes, was
> von der durch [mm]B_{1}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] verlaufenden Sehne s begrenzt
> wird.
Hallo,
dieser Weg ist nur dann sinnvoll, wenn die Flächenformel für ein Segment bekannt bzw. verfügbar ist.
Elementarer ist Folgendes: Das angesprochene Dreieck wird durch Hinzunahme des Kreismittelpunkts zu einem (noch dazu rechtwinkligen) Drackenviereck, desssen Inhalt einfach zu bestimmen ist.
Davon muss der Inhalt des von den beiden Berührungsradien begrenzten Kreissektors subtrahiert werden. Das ist ein gewisser Anteil des Vollkreises, dieser Anteil wird wesentlich von der Größe des Winkels zwischen beiden Berührungsradien bestimmt.
Gruß Abakus
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Alternativ kannst du das auch über die Integralrechnung
> lösen, die hellbllaue Fläche kannst du über ein normales
> Dreieck lösen. Die beiden dunkelblauen Flächen kannst du
> durch Integrale lösen, wenn du k umschreibst:
> [mm]x^2+y^2-12x-8y+27=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (x-6)^2+(y-4)^2=25[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (y-4)^2=25-(x-6)^2[/mm]
>
> Also golt für den oberen Halbkreis
> [mm]y=4+\sqrt{25-(x-6)^2}[/mm]
> und für den unteren Halbkreis
> [mm]y=4\red{-}\sqrt{25-(x-6)^2}[/mm]
>
> Nun kannst du die Schnittflächen zwischen den
> Halbkreisfunktionen und den Tangenten wie üblich
> berechnen.
>
> Marius
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| Aufgabe | k: (x - 6)² + (y - 4)² = 25
t1: y=9
t2: y = -1.33x + 3.67 |
Die Schnittpunkte von t1 und t2 mit dem Kreis lauten (6/9) und (2/1)
Die Seiten des Dreiecks sind
P-S1: 10 cm
P-S2: 10cm
S1-S2: 8,94 cm
Der Flächeninhalt des Dreiecks wäre nun:
A= 0,5* h*c
[mm] \bruch{S1+S2}{2}= \bruch{\vektor{6 \\ 9}+\vektor{2 \\ 1}}{2}=\vektor{4 \\ 5}
[/mm]
[mm] P-\bruch{S1+S2}{2}=\vektor{-8 \\ 4}
[/mm]
Dessen Betrag ist nun 8,94427191
Bei S1-S2 ebenfalls
A=0,5*8,94427191*8,94427191= 40 FE
Kreissegment:
A = [mm] \bruch{r^2 ·* \pi ·* \alpha}{180° –- sin \alpha} [/mm]
Zunächst den Winkel Alpha berechnen:
M(6/4)
M-S1= [mm] \vektor{6 \\ 9}-\vektor{6 \\ 4}=\vektor{0 \\ 5}
[/mm]
M-S2= [mm] \vektor{2 \\ 1}-\vektor{6 \\ 4}= \vektor{-4 \\ -3}
[/mm]
Nun den Winkel zwischen beiden berechnen:
[mm] \bruch{\vektor{0 \\ 5}*\vektor{-4 \\ -3}}{\wurzel{25}*\wurzel{16+9}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-15}{25}=-0,6
[/mm]
=126,8698976°
A= 0,5* [mm] \bruch{(25*\pi * 126,8698976 )}{53,1301024}
[/mm]
A=93,77300256
Wenn ich nun jedoch die Fläche des Kreissegments von der des Dreiecks subtrahieren würde würde mir -53,77300256 FE rauskommen und ds kann nicht stimmen. Wo ist mein Fehler?
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Hallo, du gehst also den von M.Rex vorgeschlagenen Weg, die Schnittpunkte (6;9) und (2;1) sind korrekt, ebenso die Fläche des Dreiecks [mm] PB_1B_2 [/mm] mit 40FE, der Winkel 126,87... Grad ist auch ok, die Formel für das Kreissegment, in der Skizze von M.Rex hellgrün dargestellt, lautet: [mm] A=\bruch{r^2}{2}(\alpha-sin(\alpha)), [/mm] gebe den Winkel [mm] \alpha [/mm] im Bogenmaß an, Steffi
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> Hallo, du gehst also den von M.Rex vorgeschlagenen Weg, die
> Schnittpunkte (6;9) und (2;1) sind korrekt, ebenso die
> Fläche des Dreiecks [mm]PB_1B_2[/mm] mit 40FE, der Winkel 126,87...
> Grad ist auch ok, die Formel für das Kreissegment, in der
> Skizze von M.Rex hellgrün dargestellt, lautet:
> [mm]A=\bruch{r^2}{2}(\alpha-sin(\alpha)),[/mm] gebe den Winkel
> [mm]\alpha[/mm] im Bogenmaß an, Steffi
=>In Bogenmaß = [mm] \bruch{\pi* 126,87}{180}=2,214299222 [/mm] => [mm] \bruch{25*2,214299222*sin(2,14299222)}{2}=1,035006363 [/mm] FE
A= 40-1,035006363= 38,96499364 FE
Dieses Ergebnis kommt mir aber auch nicht richtig vor.
=
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Hallo, in der Klammer steht ein MINUS, Steffi
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OK:
Dann ist der Flächeninhalt:
40-27,6600435= 12,3399565 FE
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Hallo, der hellgrüne Anteil ist nicht korrekt:
[mm] A=\bruch{r^2}{2}(\alpha-sin(\alpha))
[/mm]
[mm] A=\bruch{25}{2}(2,214299-sin(126,87^{0}))
[/mm]
[mm] A=\bruch{25}{2}(2,214299-0,799998)
[/mm]
[mm] A\approx17,6787FE
[/mm]
Steffi
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Danke Steffi für deine Hilfe ;)
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