Kreis im schlichten Graphen < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mi 01.02.2012 | | Autor: | per |
| Aufgabe | | Sei G ein ungerichteter schlichter Graph mit zwei Knoten v,w, zwischen denen es zwei verschiedene Wege gibt. Zeigen Sie, dass dann G einen Kreis enthält. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, liebes Forum,
die oben stehende Frage bringt mich deshalb etwas ins Grübeln, da ich mir nicht ganz sicher bin, was ich da beweisen soll. Da es sich um einen schlichten Graphen handelt, sind Doppelbindungen zwischen zwei Knoten, bzw. zwei Kanten ohne einen weiteren Knoten dazwischen nicht erlaubt. Möchte man das Ganze nun, und das war mein erster Gedanke, mit einem Widerspruch beweisen, wird man nicht weit kommen, bzw. beweisen müssen. Denn:
Angenommen, es gibt eine zweite Kante zwischen v und w, die nicht Teil eines Kreis ist, dann kann diese Kante nur, da es sich um einen schlichten Graphen handelt, eine weitere, direkte Kante zwischen v und w darstellen, was jedoch in einem solchen Graphen verboten ist. Widerspruch. => Deshalb muss es sich um einen Kreis innerhalb von G handeln.
Oder lass ich da gerade etwas außer acht? Evtl. elementare Beweisprämissen? Gruß, Per
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 02.02.2012 | | Autor: | Stoecki |
mir kommt es ein wenig so vor, als ob du weg und kante verwechselst. ein weg von v nach w ist eine folge von kanten der form [mm] (v,u_1),(u_1,u_2)...(u_{k-1}, u_k)(u_k, [/mm] w). in deiner aufgabe gibt es zwei wege von v nach w, also existiert zu dem obigen zusäzlich ein weg [mm] (v,u_1'),(u_1',u_2')...(u_{k-1}', u_k')(u_k', [/mm] w). dabei können einige knoten [mm] u_j [/mm] und [mm] u_i# [/mm] durchaus die gleichen knoten beschreiben. deine aufgabe ist nun aus diesen beiden wegen eine kantenfolge zu definieren, die einen kreis beschreibt. es ist also ein direkter beweis, den ich dir empfehlen würde
gruß bernhard
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