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| Aufgabe | | Ein Kreis hat den Mittelpunkt M (3 | -6 | 2 ), den Radius 52 und seine Ebene steht senktrecht zum Vektor [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}. [/mm] Bestimmen Sie die Endpunkte für zwei zueinander senkrechte Kreisdurchmesser, von denen einer parallel zur (y|z) Ebene liegt. |
Hallo,
zuerst: ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Momentan weiss ich bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe als erstes mal versucht die Ebenengleichung des Kreises zu finden und habe dafür [mm] \bruch{4x+12y3z+66}{13}=0 [/mm] bekommen, indem ich den Vektor [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] genommen habe, ihn auf die Länge 1 gekürzt, und dann, da ja der Vektor senkrecht zur Ebe steht, diese Gleichung aufgestellt, um auf die Ebengleichung zu kommen:
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{4}{13} \\ \bruch{12}{13} \\ \bruch{-3}{13} \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x-3 \\ y+6 \\ z-2 \end{pmatrix} [/mm] = 0
Dies dann noch umgeformt. Jetzt weiss ich leider nicht mehr weiter. Danke schonmal im Voraus für jede Hilfe.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:20 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Primat |
Hi Trinity!
Hab gerade bemerkt, dass ich da eben ziemlichen Unfug aufgeschrieben hab, daher eine kleine Überarbeitung fällig war...
Zunächst mal zur Ebenengleichung:
Gegeben ist ein Aufpunkt der Ebene M(3|-6|2) und der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{4\\12\\-3}.
[/mm]
Ich überführe das mal in die Koordinatenform:
Es gilt [mm] (\vec{x}-\vec{m}) \cdot \vec{n} [/mm] = 0 [mm] \gdw \vec{x} \cdot \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{m} \cdot \vec{n}
[/mm]
Mit [mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \vektor{3\\-6\\2} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x{3}} [/mm] heißt das:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x{3}} \cdot \vektor{4\\12\\-3} [/mm] = [mm] \vektor{3\\-6\\2} \cdot \vektor{4\\12\\-3}
[/mm]
[mm] 4x_{1}+12x_{2}-3x_{3}=-66
[/mm]
Meine Überlegung war, dass ein Vektor [mm] \vec{r}, [/mm] der parallel zur y/z (bei mir [mm] x_{2} [/mm] / [mm] x_{3}) [/mm] Ebene liegt, für [mm] x_{1} [/mm] den Wert Null annehmen muss. Um Radius des Kreises zu sein, muss sein Betrag =52 sein und er muss orthogonal auf [mm] \vec{n} [/mm] stehen.
[mm] \vec{r} \cdot \vec{n} [/mm] = 0
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{0\\x_{2}\\x_{3}}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\x_{2}\\x{3}} \cdot \vektor{4\\12\\-3} [/mm] =0 [mm] \Rightarrow 12x_{2}-3x_{3}=0 \gdw 4x_{2}=x_{3}
[/mm]
Nun kann man noch [mm] x_{2} [/mm] durch [mm] x_{3} [/mm] ausdrücken und so mit dem Betrag die Werte bestimmen.
Dieser Vektor + bzw - [mm] \vec{m} [/mm] liefert Dir schonmal zwei der gesuchten Punkte.
Ich hoffe, das klappt 
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