Kreisgleichung bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Ermitteln Sie die Gleichungen der Kreise, die:
- x-Achse berühren
- Durch P(5/2) gehen
den Kreis k': [mm] x^{2} [/mm] + [mm] (y-6)^{2} [/mm] = 1
Der gesuchte Kreis: Mittelpunkt (u/v)
(x - [mm] u)^{2} [/mm] + (y - [mm] v)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Gleichung 1: P(5/2) liegt auf Kreis
(5 - [mm] u)^{2} [/mm] + (2 - [mm] v)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Gleichung 2: Berührt x-Achse
v = r
Gleichung 3: Berührt k' [mm] M_{1} [/mm] = (0/6)
[mm] \overrightarrow{MM_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{u \\ v-6}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MM_{1}} [/mm] = 1 + r
[mm] u^{2} [/mm] + (v - [mm] 6)^{2} [/mm] = (1 + [mm] r)^{2}
[/mm]
Die drei Gleichungen:
(1) (5 - [mm] u)^{2} [/mm] + (2 - [mm] v)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
(2) v = r
(3) [mm] u^{2} [/mm] + (v - [mm] 6)^{2} [/mm] = (1 + [mm] r)^{2}
[/mm]
Setze (2) in (1) und (3) ein
(1) (5 - [mm] u)^{2} [/mm] + (2 - [mm] v)^{2} [/mm] = [mm] v^{2}
[/mm]
(3) [mm] u^{2} [/mm] + (v - [mm] 6)^{2} [/mm] = (1 [mm] +v)^{2}
[/mm]
Klammere aus
(1) [mm] u^{2} [/mm] -10u -4v+29 = 0
(3) [mm] u^{2} [/mm] - 14v +35 = 0
(1) v = 0.25 [mm] u^{2} [/mm] -2.5u + 7.25 = v l setze nun bei (3) ein
[mm] u^{2} [/mm] - 14(0.25 [mm] u^{2} [/mm] -2.5u + 7.25) +35 = 0
-2.5 [mm] u^{2} [/mm] + 3.5u -66.5 = 0
[mm] u_{1} [/mm] = 2.27
[mm] u_{2} [/mm] = 11.73
Durch diese sehr umständliche Zahlen zweifle ich die Richtigkeit des bisherigen Lösungsweges sehr stark an.
Wäre sehr dankbar um deine Hilfe
Gruss DInker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Auch wenn es krumme Ergebnisse sind ... sie sind richtig (zumindest habe ich dieselben Werte erhalten). Und auch die entsprechende Zeichnung passt!
Gruß
Loddar
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hallo Dinker,
hast du dir überlegt, wie viele Lösungen es geben
könnte ?
Vielleicht gibt es unter den verschiedenen Lösungs-
kreisen auch solche mit runden Mittelpunktskoor-
dinaten.
Natürlich ist es nett, dass viele Schulbuchaufgaben
"schöne" Resultate haben. Vielleicht wird man aber
durch solche sorgfältig präparierten Übungen fast
zu sehr verwöhnt ...
LG
Tipp: ein möglicher Kreismittelpunkt ist M(15/26).
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