Kreiskegel in Kugel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Sandy1 |
| Aufgabe | Einer Kugel ist ein gerader Kreiskegel einbeschrieben (Radius r und Höhe h). R = Radius Kugel
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Wie groß ist der Winkel x damit das Kegelvolumen maximal wird. (x ist der Winkel zwischen h und einer Seitenlinie des Kegels)? Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hoffe das mir hier jemand weiterhelfen kann, da ich nicht weiß ob mein Ansatz stimmt und wenn ja wie es weiter geht...
Es ist klar, dass es um das Volumen des Kegels geht, also:
V = [mm] 1/3*r^2*pi*h
[/mm]
nicht mehr sicher bin ich mir, ob:
t = R*cos(x) (h-R = t),
r = R*sin(2x)
h = R + [mm] \wurzel{R^2-((R*sin(2x)^2}
[/mm]
wenn das stimmt, kann ich es einsetzen und erhalte:
[mm] V(x)=1/3*R*sin(2x)^2*pi*(R [/mm] + [mm] \wurzel{R^2-((R*sin(2x)^2})^2
[/mm]
und nun ? Stimmt das soweit oder was ist falsch? Wie geht es weiter?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Fr 20.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Sandy,
warum willst du unbedingt sofort mit dem Winkel arbeiten?
So etwas gibt nur Komplikationen bei der Extremwertbestimmung wegen der Periodizität der trig. Funktionen.
Hauptbedingung: $V(r,h) = [mm] \frac{1}{3} [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] * h$
Nebenbedingung: $(h - [mm] R)^2 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] = [mm] R^2 \Leftrightarrow r^2 [/mm] = 2hR - [mm] h^2.$
[/mm]
[mm] $r^2$ [/mm] in Hauptbedingung einsetzen und du hast eine handliche Zielfunktion zum Maximieren.
Zur Kontrolle: Das optimale Volumen liegt bei [mm] $\frac{32}{81} \pi R^3$.
[/mm]
Der Winkel x ist dann aus dem Verhältnis von h und r mit dem tan leicht zu bestimmen.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Sandy1 |
Danke Will für deine Antwort! Leider ist es Vorgabe des Lehrers, das die Funktion in Abhängigkeit des Winkels aufgestellt und abgeleitet werden soll :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Fr 20.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke Will für deine Antwort! Leider ist es Vorgabe des
> Lehrers, das die Funktion in Abhängigkeit des Winkels
> aufgestellt und abgeleitet werden soll :-(
Das sagt aber nicht, dass du zur Aufstellung von vorn herein mit dem Winkel arbeiten musst! Du kannst die mit h und r gewonnene Zielfunktion am Ende immer noch über x=arctan(r/h) in Abhängigkeit von x ausdrücken (und den Arcustangens dann ableiten).
Viele Grüße
Abaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Fr 20.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Sandy,
in diesem Fall verwende als Nebenbedingungen:
$h = R * (1 + [mm] \cos [/mm] 2x)$ und
$r = R * [mm] \sin [/mm] 2x$.
LG
Will
PS: das wird leider mühsamer 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Fr 20.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Dein Ansaytz war richtig, nur was kompliziert.
2. insgesamt wird es einfacher, wenn du mit
r=R*sin2x h=r/tanx=Rsin2x/tanx=R*2sinx*cosx/tanx=R*cos^2x rechnest.
Nach dem Differenzieren sin2x*cosx ausklammern.
erst am Ende die Additionsformel für tan2x=2tanx/(1-tan^2x) benutzen
Aber ich denke immer noch, dass du ie anderen Formeln nur r benutzen darfst, wenn du daraus gleich am Anfang hinschreibst, wie man damit x rauskriegt!
sonst sag deinem Lehrer: Mathe ist die kunst unnötige Rechnerei zu vermeiden!
(dass du V auch mit x hinschreiben kannst hast du ja gezeigt!
Gruss leduart.
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Allerbeste Grüße in den matheraum
ich übe gerade Extremwertaufgaben, dabei versuche ich Aufgaben vollständig durchzurechnen, bin dabei auf diese Aufgabe gestoßen, ich habe als Ergebnis [mm] h=\bruch{4}{3}R, [/mm] dann [mm] V=\bruch{32}{81}\pi R^{3}, [/mm] dann [mm] x\approx 44,07^{0}
[/mm]
jetzt möchte ich den anderen Weg berechnen, leider hänge ich an den Beziehungen r=R*sin(2x) bei Will steht h=R(1+cos(2x)), würde bedeuten t=R*cos(2x) ???
zunächst mein Bild ist das so richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Radius Kugel: [mm] R=\overline{BD}=\overline{DC}=\overline{DA}
[/mm]
Radius Kegel: [mm] r=\overline{BE}
[/mm]
Höhe Kegel: [mm] h=\overline{AE}=R+t
[/mm]
Danke Klaus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Fr 20.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Klaus
Wahrscheinlich hast du nur den wichtigen Satz vergessen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so gross wie der Umfangswinkel ist.
also Winkel CDE =2*Winkel CAE
(deine Zeichng ist richtig)
Gruss leduart
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KLICK, KLICK
Danke leduart, die einfachen Dinge geraten eben doch in Vergessenheit, tschüß Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 22.06.2008 | | Autor: | Sandy1 |
Vielen Dank für eure Hilfe,ich habe nun endlich eine vernünftige Lösung gefunden!
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