Kreiszahl µ < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hätte da eine Frage. Wie kann man beweisen, dass die Zahl µ irrational ist?
Mir ist schon klar, dass es viel verlangt ist, einem Achtklässler, der nächstes Jahr erst in die 9.Klasse geht, das zu erklären, aber ich möchte trotzdem versuchen, dass zu verstehen, weil es ein Thema ist, dass mich interessiert. Ich hoffe auch, dass ich mit dieser Frage gegen keine der Forenregeln verstöße.
Ich habe auch bereits folgenden Link gefunden: http://pi314.at/math/irrational.html, allerdings konnte ich mit den dort vorkommenden Symbolen recht wenig anfangen.Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Ich fürchte, dass es für die Irrationalität keinen leichter verständlichen beweis als den "simpel proof" von deinem Link gibt (Ich kenne zumindest keinen).
Als Grundlage für den Beweis dient die Differenzial- und Integralrechnung, die auf dich aber erst in der Oberstufe zukommen wird.(bzw. in dieser (komplizierten) Form vieleicht auch überhaupt nicht in der Schule).
Da ich dir aber nicht auf die schnelle die Diff/Integralrechnung verständlich erklären kann, musst du wohl einfach glauben, dass [mm] \pi [/mm] irrational ist. Genaugenommen ist [mm] \pi [/mm] sogar transzendent (d.h. es gibt kein Gleichung [mm]a_n*x_n^n+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_1*x_1+x_0=0[/mm], für die [mm] \pi [/mm] eine Lösung ist. Bei [mm] \wurzel{2} [/mm] ist zum beispiel [mm] x^2-2=0 [/mm] eine solche Gleichung, womit [mm] \wurzel{2} [/mm] zwar irrational, aber nicht transzendent ist, [mm] \wurzel{2} [/mm] ist damit algebraisch(Ich hoffe, das war jetzt nicht zu verwirrend))
Ganz vereinfacht ausgedrückt, funktioniert der Beweis so:
Die Funktion: f(x) und alle ihre Ableitungen [mm] f^{(j)}(x) [/mm] sind für x=0 und x=a/b ganzzahlig; damit ist auch F(x) ganzzahlig, da es ja durch addieren und subtrahieren der ganzzahligen Funktionen f(x) und [mm] f^{(j)}(x) [/mm] gebildet wird.
Wenn [mm] \pi [/mm] nun eine rationale Zahl wäre, so könnte man sagen, dass [mm] $\pi=a/b$ [/mm] ist!
Nun kommt verschiedenste Umformungen und schließlich erhällt man als Ergebniss einerseits, dass das Integral über f(x)sin(x) gleich [mm] F(\pi)+F(0), [/mm] also ganzzahlig ist, und andererseites, dass wenn n beliebig groß gewählt wird f(x)sin(x) beliebig klein wird (damit wird dann aber auch das Integral beliebig klein). Und dies ist der Wiederspruch! Denn wenn das Integral beliebig klein wird, wird es auch kleiner wie 1, andererseits, gibt es aber keine ganze Zahl zwischen 0 und 1, damit kann dann [mm] \pi [/mm] nicht rational sein!
Wenn das jetzt genauso verwirrend für dich, wie der ursprüngliche Beweis war (was ich befürchte!!!), tut mir das leid, aber noch einfacher, kann ich dir den Beweis nicht klarmachen.
Ansonsten kannste natürlich nachfragen
Gruß Samuel
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Gut, ich will mal zusammfassen, was ich bisher verstanden habe:
Die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^{n}(1-x){4}^{n}}{n!} [/mm] in dem Link, den ich angegeben habe, ich also ganzzahlig, d.h. Element von [mm] \IN.
[/mm]
Außerdem kann auch - wie auch immer bewiesen werden, dass, f(x)sin(x) gleich f(µ)+f(0) ist, also ganzzahlig.
außerdem kann bewiesen werden, dass, je größer n ist, dass dann f(x)sin(x) beliebig kleiner ist, dass das also wegen der Möglichkeit, dass die Funktion kleiner sein kann als 1, µ keine rationale Zahl sein kann.
Bei den Ableitungen gehe ich davon aus, dass damit wohl gemeint ist, dass zu einer Funktion f(x) eine andere Funktion f(x) addiert oder subtrahiert wird, kann man das so stehen lassen?
Aber was ist eigentlich ein "Integral"?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo,
Ich hab mich auf den Beweis in dem pdf (http://pi314.at/math/misc/irrational_niven.pdf) bezogen, da er zum einen besser lesbar und zum anderen ohne den Binomischen Lehrsatz auskommt (und weil mir nicht klar war, dass die Beweise nicht die selben sind  )
> Gut, ich will mal zusammfassen, was ich bisher verstanden
> habe:
>
> Die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x^{n}(1-x){4}^{n}}{n!}[/mm] in dem
> Link, den ich angegeben habe, ich also ganzzahlig, d.h.
> Element von [mm]\IN.[/mm]
>
Fast richtig! In dem pdf ist die Funktion wie folgt gegeben:
[mm]f(x)=\frac{x^n*(a-bx)^n}{n!}[/mm]
und in diese Funktion ist nun für x=0 und und [mm] x=\pi=a/b [/mm] ganzzahilg,
d.h. [mm] $f(0),f(\pi)\in\IZ$ (\IN [/mm] wäre hier zwar auch nicht falsch, aber der Begriff ganzzahlig meint eigentlich positive und negative Zahlen also, 0,1,-1,2,-2,..)
(Insbesondere gilt:[mm]f(0)=\frac{0^n*(a-b*0)^n}{n!}=0[/mm] und [mm]f(a/b)=\frac{(a/b)^n*(a-b*(a/b))^n}{n!}=\frac{(a/b)^n*(a-a)^n}{n!}=0[/mm])
> Außerdem kann auch - wie auch immer bewiesen werden, dass,
> f(x)sin(x) gleich f(µ)+f(0) ist, also ganzzahlig.
> außerdem kann bewiesen werden, dass, je größer n ist, dass
> dann f(x)sin(x) beliebig kleiner ist, dass das also wegen
> der Möglichkeit, dass die Funktion kleiner sein kann als 1,
> µ keine rationale Zahl sein kann.
>
> Bei den Ableitungen gehe ich davon aus, dass damit wohl
> gemeint ist, dass zu einer Funktion f(x) eine andere
> Funktion f(x) addiert oder subtrahiert wird, kann man das
> so stehen lassen?
>
ok, der Begriff Ableitung stammt aus der Differenzialrechnung.  Ableitung Die 1.Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) gibt an, welche Steigung eine Tangente an dem Graphen der Funktion f(x) in der Stelle x besitzt. Analog ist f''(x) die zweite Ableitung, die was über die Steigung der ersten Ableitungsfunktion aussagt. Wenn man das nun immer weiterführt ist [mm] f^{(n)}(x) [/mm] die n-te Ableitungsfunktion.
Das entscheidende ist aber, dass jede Funktion nur genau eine erste, zweite, n-te... Ableitung besitz. Man kann also sagen [mm] f^{(n)}(x) [/mm] sei einfach ein nach einem gewissen Kriterium f(x) zugeordnete Funktion.
F(x) erhällt man nun durch alternierendes (+-+-+-)aufsummieren der geraden Ableitungsfunktion ([mm]f''(x), f^{IV}(x), ...f^{(2n)}(x)[/mm]). (Achtung, F(x) nicht mit f(x) verwechseln!!!)
Da aber nicht nur f(0) und f(a/b), sondern auch alle Ableitungsfunktion [mm] f^{(n)}(0) [/mm] und [mm] f^{(n)}(a/b) [/mm] ganzzahlig sind (folgt aus Potenzregel und Produktregel sei hier aber einfachmal als wahr angenommen ) Ist nun auch F(x) für x=0 oder x=a/b ganzzahlig!
> Aber was ist eigentlich ein "Integral"?
der Begriff Integral stammt aus der Integralrechnung und bezeichnet den unter einer Funktion liegenden Flächeninhalt. In unserem konkreten Fall:
[mm] \integral_{0}^{\pi} {f(x)*sin(x)\, dx} [/mm] meint "die Fläche, die die Gerade x=0, die x-Achse, die Gerade [mm] x=\pi(=a/b), [/mm] und der Graph der Funktion einschließen"
Und es lässt sich nun zeigen, dass [mm]\integral_{0}^{\pi} {f(x)*sin(x)\, dx}=F(0)+F(\pi)[/mm], also Ganzzahlig ist!
Wird aber andererseits das n welches in der Definition von f(x) auftaucht beliebig groß gewählt, so ist f(x)*sin(x) für [mm] $0\le x\le\pi$ [/mm] beliebig klein.(und wenn du dich an die Definition des Integral errinnerst, ist das ja der einzig interessante Bereich!) Bildlich heißt das, dass sich der Graph beliebig nahe an die x-Achse anschmiegt. Damit wird aber der von ihr mit der x-Achse beschriebene Flächeninhalt natürlich ebenfalls beliebig klein, also insbesondere <1.
Da es aber keine ganze (oder auch natürlich) Zahl zwischen 0 und 1 gibt, führt und das auf einen Widerspruch, da der Flächeninhalt ja [mm]F(0)+F(\pi)[/mm] ganzzahig sein müsste! Und eben dieser Widerspruch lässt sich nur dadurch erklähren, dass die Annahme [mm] \pi=a/b [/mm] falsch ist, und damit [mm] \pi [/mm] irrational ist.
Damit dürften dann wohl alle Klarheiten bereinigt sein
Gruß Samuel
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Danke für die ausführliche Antwort! 
Damit dürften dann wohl alle Klarheiten bereinigt sein
Tja, wie ich sehe, gibst du dir alle Mühe damit! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Noch eine Frage: Wofür steht das "d" in $ [mm] \integral_{0}^{\pi} {f(x)\cdot{}sin(x)\, dx} [/mm] $ ??
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Differential