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| Aufgabe | | Finden Sie den Punkt mit der stärksten Krümmung der Funktion y=ln x und berechnen sie den Schmiegekreis in diesem Punkt. |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, stehe aber absolut auf der Leitung. Die Ableitungen sind kein Problem.
f'(x)=1/x
f''(x)=-1/x²
f'''(x)=2/x³
Aber wie gehts jetzt weiter? Die Formeln für Krümmung, Radius x0 und y0 kenne ich. Aber ohen den Punkt komme ich da auch nicht weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Formel für die Krümmung des Graphen der Funktion lautet ja:
[mm]\kappa = \left|\bruch{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}\right|[/mm]
Einsetzen ergibt:
[mm]\kappa(x) = \left|-\bruch{\bruch{1}{x^2}}{\left(1 + \bruch{1}{x^2}\right)^{3/2}}\right| = \left|\bruch{\bruch{1}{x^2}}{\left(\bruch{x^2+1}{x^2}\right)^{3/2}}\right| = \left|\bruch{x}{\left(x^2+1\right)^{3/2}}\right| [/mm]
Wir untersuchen nur x>0, können den Betrag also weglassen. Um den Maximalwert zu finden, würde ich jetzt mal ableiten...
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Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe versucht K abzuleiten.
Für den Nenner habe ich die Kettenregel genommen und dann alles mit Quotientenregel abgeleitet.
Mein Ergebnis für [mm] K'=\bruch{(x^2+1)-3x^2}{(x^2+1)^\bruch{5}{2}}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Habe dann K' = 0 gesetzt. bzw. nur den Zähler. und dann kommt für [mm] x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] raus.
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Hallo!
> Mein Ergebnis für
> [mm]K'=\bruch{(x^2+1)-3x^2}{(x^2+1)^\bruch{5}{2}}[/mm]
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> Ist das soweit richtig?
Ja, das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Habe dann K' = 0 gesetzt. bzw. nur den Zähler. und dann
> kommt für [mm]x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] raus.
Darauf komme ich auch  . Achtung: Natürlich ist nur das positive Ergebnis $x [mm] =\wurzel{\bruch{1}{2}}$ [/mm] gültig, weil wir ja vorher schon x > 0 angenommen haben.
Viele Grüße, Stefan.
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