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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Kuriger |
berechnen Sie die maximale Krümmung der Kurve y = ln(x), x > 0
Die allgemeine Krpmmungsformel lautet
Krümmung = [mm] \bruch{f''(t)}{(1 + f'(t)^2)^{3/2}}
[/mm]
Also:
f(x) = ln(x)
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f''(x) = [mm] -\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Eingesetzt
Krümmung = [mm] \bruch{-\bruch{1}{x^2}}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^{3/2}}
[/mm]
Nun versuche ich das ganze etwas umzuformen
Krümmung = - [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{(\bruch{x^2 + 1}{x^2})^{3/2}} [/mm] = - [mm] (\bruch{\bruch{1}{x^{4/3}}}{\bruch{x^2 + 1}{x^2}})^{3/2} [/mm] = - [mm] (\bruch{x^2}{x^{4/3 * (x^2 + 1)}})^{3/2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}
[/mm]
Nun kann ich mit der Krümmungsableitung die Extremalstellen bestimmen. Hier ist die Produkteregel wohl geeignet
Krümmung' = [mm] \bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}}{(x^2 + 1)^{9/4}}
[/mm]
Nun setze ich das mal Null
0 = [mm] \bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}}{(x^2 + 1)^{9/4}}
[/mm]
0 = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{3/2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x [/mm] * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{1/2}
[/mm]
0 = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{1/2} [/mm] * [mm] ((x^2 [/mm] + 1) - [mm] \bruch{3}{2}x)
[/mm]
Nun einer der komponenten Null geben
0 = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^{1/2} \to [/mm] Das wird wohl nie NUll
0 = [mm] ((x^2 [/mm] + 1) - [mm] \bruch{3}{2}x) \to [/mm] Diese quadratische Gleichung scheint keien Lösung zu haben
Was mache ich falsch?
Danke, Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> berechnen Sie die maximale Krümmung der Kurve y = ln(x), x
> > 0
>
>
> Die allgemeine Krpmmungsformel lautet
>
> Krümmung = [mm]\bruch{f''(t)}{(1 + f'(t)^2)^{3/2}}[/mm]
>
>
> Also:
> f(x) = ln(x)
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f''(x) = [mm]-\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Eingesetzt
> Krümmung =
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{x^2}}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^{3/2}}[/mm]
>
> Nun versuche ich das ganze etwas umzuformen
>
> Krümmung = - [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{(\bruch{x^2 + 1}{x^2})^{3/2}}[/mm]
> = - [mm](\bruch{\bruch{1}{x^{4/3}}}{\bruch{x^2 + 1}{x^2}})^{3/2}[/mm]
> = - [mm](\bruch{x^2}{x^{4/3 * (x^2 + 1)}})^{3/2}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{(x^2 + 1)^{3/2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun kann ich mit der Krümmungsableitung die
> Extremalstellen bestimmen. Hier ist die Produkteregel wohl
> geeignet
>
> Krümmung' = [mm]\bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}}{(x^2 + 1)^{9/4}}[/mm]
Hier haben sich einige Fehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}*\red{\left(x^{2}+1\right)'}}{\blue{\left( \ (x^2 + 1)^{3/2}\right)^{2}}}[/mm]
>
> Nun setze ich das mal Null
> 0 = [mm]\bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}}{(x^2 + 1)^{9/4}}[/mm]
>
> 0 = [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{3/2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2}x[/mm] * [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{1/2}[/mm]
> 0 = [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{1/2}[/mm] * [mm]((x^2[/mm] + 1) - [mm]\bruch{3}{2}x)[/mm]
> Nun einer der komponenten Null geben
> 0 = [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^{1/2} \to[/mm] Das wird wohl nie NUll
> 0 = [mm]((x^2[/mm] + 1) - [mm]\bruch{3}{2}x) \to[/mm] Diese quadratische
> Gleichung scheint keien Lösung zu haben
>
> Was mache ich falsch?
Siehe oben.
>
> Danke, Gruss Kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 09.01.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Den rote Ausdruck verstehe ich nicht ganz:
> [mm]\bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}*\red{\left(x^{2}+1\right)'}}{\blue{\left( \ (x^2 + 1)^{3/2}\right)^{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder du meinst:
\red{\left(x^{2}+1\right)' = 2x ?
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Den rote Ausdruck verstehe ich nicht ganz:
>
> > [mm]\bruch{(x^2 + 1)^{3/2} - \bruch{3}{2}x * (x^2 + 1)^{1/2}*\red{\left(x^{2}+1\right)'}}{\blue{\left( \ (x^2 + 1)^{3/2}\right)^{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
>
> oder du meinst:
> \red{\left(x^{2}+1\right)' = 2x ?
Genau.
>
> Gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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