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Forum "Schul-Analysis" - Krümmung einer Funktion
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Krümmung einer Funktion: " Frage"
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:43 Di 27.09.2005
Autor: schnuetchen

Hallo Leute!

Ich schreibe morgen Mathe LK und habe eine Frage zur Krümmung einer Funktion.

Ich weiß, dass man die Krümmung durch einen Krümmungskreis beschreibt.

Der Mittlepunkt M(m/n) des Krümmungskreises liegt auf der Normale von f(x) in PO

Wir bekamen nun die Formel für den " Mittelpunkt und die Normale:

m= xo- [mm] (f(xo)*(1+[f'(xo)^2]))/ [/mm] f"(xo)

n= f(xo) - [mm] (1+[f'(xo)^2])/f"f(xo) [/mm]

Die erste Ableitung wird also ins Quadrat gesetzt

Danach gab uns unser Lehrer die x und y Koordinaten für den Kreismittelpunkt an

kx entspricht der Formel für m
und ky entspricht der Formel für n

Beispiel: 1/x
in die formel eingesetzt ergab es für  m = 1.5x+0.5x^-3

und für n= [mm] 0.5x^3+1.5x^-1 [/mm]

dann haben wir x=1 gesetzt und für m=1 und für n= 2 heraus bekommen.

Nun haben wir dies in  das koordinatensystem eingeszeichnet und zwar M ( 1/1) und n(2/2)

Frage: Wenn aber die gleiche Formel für die x und y Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes gelten, also x=m und y= n, wieso ist dann der Mittelpunkt M( 1/1) und nicht M(1/2)
Das hat mich total verwirrt!

Meine Idee bzw. Frage:

Ist veilleicht m ( 1/1) ein Punkt auf der Kurve?
Wie kommt man auf die y koordinate von n ( 2/2)?
Ist [mm] [f'(xo)]^2 [/mm] etwas anderes. als [mm] f'(xo)^2 [/mm] ?

Ich hoffe ihr versteht meine Frage und könnt mir helfen. Beim ausrechenen habe ich keine Probleme, nur diese gleiche Formel, die anscheinend für 2 Sachen gilt, hat mich verwirrt.

Bis denn schnuetchen :-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Krümmung einer Funktion: Klärungsfragen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Di 27.09.2005
Autor: statler

Auch hallo!
>  
> Ich schreibe morgen Mathe LK und habe eine Frage zur
> Krümmung einer Funktion.
>  
> Ich weiß, dass man die Krümmung durch einen Krümmungskreis
> beschreibt.
>  
> Der Mittlepunkt M(m/n) des Krümmungskreises liegt auf der
> Normale von f(x) in PO
>  
> Wir bekamen nun die Formel für den " Mittelpunkt und die
> Normale:
>  
> m= xo- [mm](f(xo)*(1+[f'(xo)^2]))/[/mm] f"(xo)
>  
> n= f(xo) - [mm](1+[f'(xo)^2])/f"f(xo)[/mm]
>  

Nach der obigen Bem. sind doch m die x- und n die y-Koordinate des Mittelpunktes des Krümmungskreises. Eine Normalengleichung sehe ich hier nicht. In den Formeln sind anscheinend Tippfehler!

> Die erste Ableitung wird also ins Quadrat gesetzt
>  
> Danach gab uns unser Lehrer die x und y Koordinaten für den
> Kreismittelpunkt an
>
> kx entspricht der Formel für m
>  und ky entspricht der Formel für n
>  
> Beispiel: 1/x
>  in die formel eingesetzt ergab es für  m = 1.5x+0.5x^-3

In welchem Punkt soll denn jetzt die Krümmung der Kurve f(x) = 1/x bestimmt werden?  [mm] P_{0} [/mm] = (1/1)?

> und für n= [mm]0.5x^3+1.5x^-1[/mm]

Dann kann ich doch erst die Werte von f, f' und f'' in diesem Punkt ausrechnen und damit dann m und n, oder?

> dann haben wir x=1 gesetzt und für m=1 und für n= 2 heraus
> bekommen.
>  
> Nun haben wir dies in  das koordinatensystem eingeszeichnet
> und zwar M ( 1/1) und n(2/2)

Das verstehe ich jetzt überhaupt nicht mehr! n ist doch kein Punkt, sondern eine Zahl!

>  
> Frage: Wenn aber die gleiche Formel für die x und y
> Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes gelten, also
> x=m und y= n, wieso ist dann der Mittelpunkt M( 1/1) und
> nicht M(1/2)
>  Das hat mich total verwirrt!

Das würde mich auch verwirren! M(1/1) ist doch offensichtlich ein Punkt auf der Kurve, das ist nicht der Mittelpkt. des Krümmungskreises. Klar ist (jedenfalls für mich): Wenn die Krümmung in (1/1) gesucht wird, muß der Mittelpkt. des Kreises aus Symm.-gründen auf der Winkelhalbierenden y = x liegen!

> Meine Idee bzw. Frage:
>  
> Ist veilleicht m ( 1/1) ein Punkt auf der Kurve?
>  Wie kommt man auf die y koordinate von n ( 2/2)?
>  Ist [mm][f'(xo)]^2[/mm] etwas anderes. als [mm]f'(xo)^2[/mm] ?
>  
> Ich hoffe ihr versteht meine Frage und könnt mir helfen.
> Beim ausrechenen habe ich keine Probleme, nur diese gleiche
> Formel, die anscheinend für 2 Sachen gilt, hat mich
> verwirrt.
>  

Versuch das doch bitte alles noch etwas klarer zu machen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
        
Bezug
Krümmung einer Funktion: "rückfrage"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Di 27.09.2005
Autor: schnuetchen

Hallo!

ich habe mich tatsächlich bei der Formel für n ( Normale) geiirt:

sie lautet:

n= f(xo) + [mm] ((1+[f`(xo)]^2)/ [/mm] ( f" ( x0))

m ist richtig

Mir fiel eben noch auf, dass unser Lehrer die Koordinaten des kreiskrümmungsmittelpunktes M ( m/ n) genannt hat.

Vorgehensweise:

Zuerst haben wir die Ableitungen von 1/x bestimmt. Diese dann in die Formel n und m eingesetzt und soweit vereinfacht, dass
m=1.5x-o.5x^-3
n= [mm] o.5x^3 [/mm] + 1.5x^-1

dann haben wir aus unerfindlichen Gründen x=1 gesetzt und dann in m und n eingesetzt.
Dann erhielten wir für m= 1 und für n= 2

Also stimmt es, dass n eine Zalh ist! nämlich die y Koordinate von dem kreiskrümmungsmittelpunkt M

In welchem Punkt wir die krümmung ermittelt haben ist mir nicht geläufig.
wahrscheinlichdann doch P ( 1/1)

aber M ( m/n) liegt auf Normale von f in PO!
normale hat die gleichung: y- yo= yo`( x-xo) wobei yo`= f`(xo)

Po( Pxo/yo)

dann haben wir den Wert aus unerfindlichen Gründen M( 1/1) und n ( 2/2) eingezeichnet !

wir gehen ja von f(x) 1/x aus und wenn wir jetzt x=1 einsetzen würden wir y herausbekommen.
Also bin ich der meinung, dass m(1/1) ein punkt auf der kurve 1/x ist und nicht der krümmungsmittelpunkt, denn der wäre ja nach den Formeln für die x und y koordinate M ( m/n) ; M ( 1/2)

Nach der zeichnung zufolge müsste dann ja der Mittelpunkt auf der Normalen von f in Punkt m( 1/1) laufen.
und diese normale geht in unserer zeichnung durch den Punkt (2/2).

Aber ich finde keinen Mittelpunkt auf dieser Linie, sondern welche, die sich dan auf der Evolute von 1/x befinden.

Das wärs erstmal.  Also ich bin jetzt quasi überzeugt, dass dieses m einmal für einen punkt auf der kurve und zum zweiten für kx steht. n steht dann für die normale und/ oder füry des krümmungskreises.

Dann wären aber die Bezeichnungen völlig verwirrend.
Danke! Tine








Bezug
                
Bezug
Krümmung einer Funktion: Oh Mann,...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 27.09.2005
Autor: statler

...das ist ja verwirrend, Tine.

> ich habe mich tatsächlich bei der Formel für n ( Normale)
> geiirt:
>  
> sie lautet:
>  
> n= f(xo) + [mm]((1+[f'(xo)]^2)/[/mm] ( f" ( x0))

Das kann nicht sein! Die Normale ist eine Gerade der Form y = mx + b. Dein n ist eine Zahl!

> m ist richtig
>  
> Mir fiel eben noch auf, dass unser Lehrer die Koordinaten
> des kreiskrümmungsmittelpunktes M ( m/ n) genannt hat.
>  

Also ist n die y-Koord. des Krümmungskreises in einem festen Punkt  [mm] P_{0}( x_{0}| y_{0}). [/mm]

> Vorgehensweise:
>
> Zuerst haben wir die Ableitungen von 1/x bestimmt. Diese
> dann in die Formel n und m eingesetzt und soweit
> vereinfacht, dass
> m=1.5x-o.5x^-3

Das für m glaube ich nicht.

>  n= [mm]o.5x^3[/mm] + 1.5x^-1
>  

Dann kriegt man die Koord. als Funktionen von x, das ist auch OK.

> dann haben wir aus unerfindlichen Gründen x=1 gesetzt und

Weil ihr den KrüKreis in (1|1) sucht...

> dann in m und n eingesetzt.
>  Dann erhielten wir für m= 1 und für n= 2

Für m ist irgendwo etwas falsch!

> Also stimmt es, dass n eine Zalh ist! nämlich die y
> Koordinate von dem kreiskrümmungsmittelpunkt M
>  
> In welchem Punkt wir die krümmung ermittelt haben ist mir
> nicht geläufig.
>  wahrscheinlichdann doch P ( 1/1)
>  
> aber M ( m/n) liegt auf Normale von f in PO!
>  normale hat die gleichung: y- yo= yo'( x-xo) wobei yo'=
> f'(xo)
>  
> Po( Pxo/yo)
>  
> dann haben wir den Wert aus unerfindlichen Gründen M( 1/1)
> und n ( 2/2) eingezeichnet !
>  
> wir gehen ja von f(x) 1/x aus und wenn wir jetzt x=1
> einsetzen würden wir y herausbekommen.
>  Also bin ich der meinung, dass m(1/1) ein punkt auf der
> kurve 1/x ist und nicht der krümmungsmittelpunkt, denn der
> wäre ja nach den Formeln für die x und y koordinate M (
> m/n) ; M ( 1/2)
>  
> Nach der zeichnung zufolge müsste dann ja der Mittelpunkt
> auf der Normalen von f in Punkt m( 1/1) laufen.
>  und diese normale geht in unserer zeichnung durch den
> Punkt (2/2).
>  
> Aber ich finde keinen Mittelpunkt auf dieser Linie, sondern
> welche, die sich dan auf der Evolute von 1/x befinden.
>  
> Das wärs erstmal.  Also ich bin jetzt quasi überzeugt, dass
> dieses m einmal für einen punkt auf der kurve und zum
> zweiten für kx steht. n steht dann für die normale und/
> oder füry des krümmungskreises.
>  
> Dann wären aber die Bezeichnungen völlig verwirrend.

Das kann man wohl sagen! Geh nochmal sorgfältig deine Herleitung von m durch, wenn n = 2 ist, muß aus Symm.-Gründen auch m = 2 sein. Ich mache erst morgen weiter (wenn es nötig ist).

Gruß
Dieter



Bezug
                        
Bezug
Krümmung einer Funktion: "Idee/ Lösung"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 27.09.2005
Autor: schnuetchen

Hallo Dieter
Danke, jetzt habe ich es raus!

wenn m= 1.5x+1/2 x^-3 ist und man für x=1 einsetzt kommt 2 raus!!

Dann stimmt es, dass der Krümittelpunkt M ( 2/2) ist und der Punkt auf der Kurve P ( 1/1) ist.

ich glaube jetzt kann ich mit einem besseren Gefühl in die Klausur gehen.
naja ic´h habe mathe lk auch nur als Notlösung genommen :-)

Bis denn Tine:-)

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