Krümmung und Interpretation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte die Krümmung von [mm] f(x)=e^{-x^2} [/mm] bestimmen
die erste Ableitung ist: [mm] -2xe^{-x^2}
[/mm]
die zweite Ableitung (fiel mir schon schwerer): [mm] -2e^{-x^2}-2xe^{-x^2}*(-2x)
[/mm]
Ist hier ein Fehler?
Denn daraus ablesen, wo nun die Funktion konex und konkav ist kann ich so nicht. Habt ihr Tipps?
Vor allem interessiert mich das allgemein: Was kann ich eventuell aus der Konvexität oder Konkavität einer Funktion ablesen? Doch eigentlich den Wendepunkt, oder nicht?
Aber wo muss dieser dann liegen?
Denn als Lösung steht bei mir:
(- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] konkav
[mm] (-\infty, [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}})U(\bruch{1}{\wurzel{2}},\infty) [/mm] konvex
Gibt es jetzt nicht irgendeine Regel die mir die 3. ABleitung erspart? Wie lautet diese allgemein?
Eine andere Interpretation die ich gelesen habe war für diese Funktion:
[mm] f(x)=x^2+x-2
[/mm]
erste Ableitung: 2x+1=0, also x=-1/2 ist eine Nullstelle
die zweite Ableitung: 2
Dies ist größer 0, also muss es sich hier um ein lokales Minimum handeln.
Aber: Wieso ist dieses auch global? Dieses wird offenbar aus der Konvexität abgeleitet.
Ich habe die Regel:
Ist f:(a,b) -> R eine diffbare Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) sei ein Punkt mit [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
a) ist die Funktion konvex auf (a,b), dann hat f in [mm] x_0 [/mm] ein globales Minimum
b) ist die Funktion konkav, dann hat f in [mm] x_0 [/mm] ein globales Maximum.
Aber irgendwie erschließt sich mir das alles nicht so ganz. Wenn man mit so vielen Themen gleichzeitig hantieren muss, missfallen einem die wichtigsten Regeln manchmal..
Ich danke euch!
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> Hallo,
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> ich möchte die Krümmung von [mm]f(x)=e^{-x^2}[/mm] bestimmen
>
> die erste Ableitung ist: [mm]-2xe^{-x^2}[/mm]
>
> die zweite Ableitung (fiel mir schon schwerer):
> [mm]-2e^{-x^2}-2xe^{-x^2}*(-2x)[/mm]
>
> Ist hier ein Fehler?
Nein, deine Ableitung ist richtig, du hast korrekt nach der Produktregel abgeleitet. Du kannst aber noch wesentlich zusammenfassen und dadurch auch dein Nullstellen-Problem lösen:
$f''(x) = [mm] -2e^{-x^2}-2xe^{-x^2}*(-2x) [/mm] = [mm] e^{-x^{2}}*(4x^{2}-2)$
[/mm]
So... Das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Der Faktor [mm] e^{-x^{2}} [/mm] kann nicht 0 werden, und [mm] (4x^{2}-2) [/mm] wird 0, wenn x = ?
> Denn daraus ablesen, wo nun die Funktion konex und konkav
> ist kann ich so nicht. Habt ihr Tipps?
Wenn du die Nullstellen der zweiten Ableitung (siehe oben) festgestellt hast, weißt du wo die Wendepunkte der Funktion sind. An diesen Stellen ändert sich also das Verhalten der Funktion: Von Konvex nach Konkav oder umgekehrt.
Es gilt:
f''(x) > 0 für alle [mm] x\in(a,b) \Rightarrow [/mm] f ist auf (a,b) linksgekrümmt, d.h. konvex.
f''(x) < 0 für alle [mm] x\in(a,b) \Rightarrow [/mm] f ist auf (a,b) rechtsgekrümmt, d.h. konkav.
Du musst nun gucken, ob f'' zwischen den Nullstellen größer oder kleiner 0 ist und dann entsprechend der obigen Festlegungen Konvexität/Konkavität feststellen.
> Vor allem interessiert mich das allgemein: Was kann ich
> eventuell aus der Konvexität oder Konkavität einer Funktion
> ablesen? Doch eigentlich den Wendepunkt, oder nicht?
>
> Aber wo muss dieser dann liegen?
>
> Denn als Lösung steht bei mir:
>
> (- [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] konkav
>
> [mm](-\infty,[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})U(\bruch{1}{\wurzel{2}},\infty)[/mm]
> konvex
Siehe oben: Die Werte in den Intervallen sind die x-Werte der Wendepunkte, und nun wurde noch ausgewertet was zwischen den Wendepunkten passiert.
> Eine andere Interpretation die ich gelesen habe war für
> diese Funktion:
>
> [mm]f(x)=x^2+x-2[/mm]
>
> erste Ableitung: 2x+1=0, also x=-1/2 ist eine Nullstelle
>
> die zweite Ableitung: 2
>
> Dies ist größer 0, also muss es sich hier um ein lokales
> Minimum handeln.
> Aber: Wieso ist dieses auch global? Dieses wird offenbar
> aus der Konvexität abgeleitet.
Rein logisch ist es ja denk ich klar. Wenn die Funktion die ganze Zeit "nach links" geht, und an einer Stelle die Steigung 0 ist, muss an der entsprechenden Stelle eine "Ausbuchtung" vorliegen, die am tiefsten ist.
Wenn dir etwas konkretes an den Definitionen nicht klar ist, bitte ich dich deine Frage genauer zu stellen.
Grüße, Stefan.
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Demnach gucke ich für Wendestellen immer "nur", was zwischen, links und rechts von meinen Nullstellen liegt und habe dann die Konvexität/Konkavität? Und kann daraus dann ablesen, wo es sich um eine Wendestelle handelt? Wären das aber in diesem Fall nicht 2 Wendestellen? Denn zwischen den beiden Nullstellen ist die Funktion konkav, und dann nochmal links und rechts davon konvex, oder nicht?
Stimmt es, dass wenn ich weder Konvexität noch Konkavität habe, ich einen Sattelpunkt haben muss?
Ich möchte an der Stelle mal meine Zusammenfassung zum Thema Kurvendiskussion aufschreiben, denn es wäre schön, wenn ich dieses Schema (vor allem was Wendestellen und Extrame) einmal übersichtlich vor mir habe. Es gibt ja vor allem verschiedene Möglichkeiten diese zu bestimmen, wenn die Ableitung zu komplex wird um einzusetzen.
Vielleicht könnt ihr mir helfen, diese Zusammenfassung übersichtlicher zu machen?
Zunächst natürlich die üblichen Regeln, notwendige und hinreichende für Minima, Maxima und Wendepunkte. Die sind aber klar, die kenne ich ja noch vom Abitur.
Einen Sattelpunkt habe ich zusätzlich, wenn f'(x)=0 gilt, also muss ich, wenn ich eine Wendestelle untersuche mit dem hinreichenden Kirterium immer auch kontrollieren, ob es sich nicht auch um einen Sattelpunkt handelt?
Viel mehr Probleme machen mir solche Sonderfälle:
Ich habe [mm] f(x)=e^{2x}-2e^x-3
[/mm]
Zum Ableiten soll ich [mm] y=e^x [/mm] setzen, also [mm] e^x [/mm] substituieren.
Ich habe soweit alles nachvollziehen können, aber dann handelt es sich um die zweite Ableitung, die dann substituiert so lautet:
[mm] f''(x)=4y^2-2y
[/mm]
Diese muss ich ja nun auf Konvexität und Konkavität untersuchen, also: wann ist die Funktion < oder > 0?
Aber wie gehe ich bei so etwas am klügsten vor? Kann ich mich an den vorhergehenden Aufgaben irgendwie richten, zB an Nullstellen oder ähnlichem? In der Aufregung hätte ich zB jetzt nicht so schnell gesehen, dass es sich um die Intervalle (0,1/2) und (1/2, [mm] \infty) [/mm] handelt
Und vor allem, wieso nun f konkav ist in (- [mm] \infty, [/mm] ln(0,5)) (dies war die einzige Nullstelle der 2. Ableitung und es war eine Wendestelle) und konvex in (ln(0,5), [mm] \infty). [/mm]
Offenbar wird bei der Konkavität ganz oft it den Wendestellen/Extrema gespielt, aber dieses "Spiel" durchschaue ich nicht so ganz. Ich sehe die "Regel" hier nicht.
Ein anderes "Spiel" ist das mit dem Vorzeichenwechsel um eine Wendestelle zu erhalten.
Ich habe bei einer Funktion [mm] \bruch{x}{(x-1)^2} [/mm] als einzige NST 0, als lokales Minimum -1.
Aber nun zur 2 Ableitung: Diese ist [mm] \bruch{2x+4}{(x-1)^4}
[/mm]
Diese ist=0 für x=-2 und aufgrund des Vorzeichenwechsels (wo liegt dieser denn vor?) habe ich in -2 einen Wendepunkt. Warum?
Ich hoffe man versteht mich, denn ich selbst bin bei dem Thema alles andere als sicher. Ich kann mir ja mit solchen "Tricks" die mühsame Arbeit ersparen nach Schema F vorzugehen und überall nur Punkte einzusetzen, aber dieses Schema würde ich erstmal gerne verstehen.
Ich danke euch für die Geduld!
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> Demnach gucke ich für Wendestellen immer "nur", was
> zwischen, links und rechts von meinen Nullstellen liegt und
> habe dann die Konvexität/Konkavität? Und kann daraus dann
> ablesen, wo es sich um eine Wendestelle handelt? Wären das
> aber in diesem Fall nicht 2 Wendestellen? Denn zwischen den
> beiden Nullstellen ist die Funktion konkav, und dann
> nochmal links und rechts davon konvex, oder nicht?
Hallo,
Für die Wendepunkte berechnest Du die Nullstellen der 2.Ableitung, also f''(x)=0.
Um herauszufinden, ob bei diesen Nullstellen der 2.Ableitung wirklich Wendepunkte vorliegen, könntest Du die dritte Ableitung bilden, Ist sie in solch einem Punkt [mm] \not=0, [/mm] so kannst Du sicher sein, einen Wendepunkt gefunden zu haben.
Ich weiß aber, daß Du gar nicht gerne die 3. Ableitung berechnen möchtest. Du kannst stattdessen auch schauen, ob die 2. Ableitung rechts und links ihrer Nullstelle verschiedene Vorzeichen hat. Wenn dies der Fall ist, liegt ein Wendepunkt vor.
Um zu schauen, wo die Funktion linksgekrümmt ist, guckst Du nach, in welchen Bereichen die 2. Ableitung >0 ist,
um zu schauen, wo die Funktion rechtsgekrümmt ist, guckst Du nach, in welchen Bereichen die 2. Ableitung <0 ist.
> Stimmt es, dass wenn ich weder Konvexität noch Konkavität
> habe, ich einen Sattelpunkt haben muss?
Ein Wendepunkt hat man dort, wo die Funktion von konkav zu konvex wechselt oder umgekehrt.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Wendepunkt, für den zusätzlich die 1. Ableitung =0 ist.
> Ich möchte an der Stelle mal meine Zusammenfassung zum
> Thema Kurvendiskussion aufschreiben, denn es wäre schön,
> wenn ich dieses Schema (vor allem was Wendestellen und
> Extrame) einmal übersichtlich vor mir habe. Es gibt ja vor
> allem verschiedene Möglichkeiten diese zu bestimmen, wenn
> die Ableitung zu komplex wird um einzusetzen.
>
> Vielleicht könnt ihr mir helfen, diese Zusammenfassung
> übersichtlicher zu machen?
>
> Zunächst natürlich die üblichen Regeln, notwendige und
> hinreichende für Minima, Maxima und Wendepunkte. Die sind
> aber klar, die kenne ich ja noch vom Abitur.
>
> Einen Sattelpunkt habe ich zusätzlich, wenn f'(x)=0 gilt,
> also muss ich, wenn ich eine Wendestelle untersuche mit dem
> hinreichenden Kirterium immer auch kontrollieren, ob es
> sich nicht auch um einen Sattelpunkt handelt?
Du fängst doch normalerweise mit der Bestimmung der Extremwerte an. Hier purzeln Dir schon die Punkte mit f'(x)=0 entgegen.
Diejenigen, die Du nicht eindeutig als Extremwert idenifizieren kannst, behältst Du im Auge bei der Berechnung der Wendepunkte.
Wenn Du für die Wendepunktberechnung die Nullstellen von f'' berechnet hast, wird es Dir schon auffallen, wenn da ein Punkt dabei ist, der auch Nullstell von f' ist.
Dieser Punkt ist ein Sattelpunktkandidat.
Sicherheit bekommst Du, indem Du den Vorzeichenwechsel der 2.Ableitung untersuchst - oder mit der dritten Ableitung, wenn Du Glück hast.
>
> Viel mehr Probleme machen mir solche Sonderfälle:
>
> Ich habe [mm]f(x)=e^{2x}-2e^x-3[/mm]
>
> Zum Ableiten soll ich [mm]y=e^x[/mm] setzen, also [mm]e^x[/mm]
> substituieren.
Ja? Na gut, kann man machen. Ich mache das nicht.
f'(x)= [mm] 2e^{2x} [/mm] - [mm] 2e^x= 2e^x (e^x [/mm] -1)
> Ich habe soweit alles nachvollziehen können, aber dann
> handelt es sich um die zweite Ableitung, die dann
> substituiert so lautet:
>
> [mm]f''(x)=4y^2-2y[/mm]
Mal schauen:
[mm] f''(x)=2*2e^{2x}- 2e^x=4e^{2x}- 2e^x= 2e^x(2e^x [/mm] -1)
Stimmt also, Deine 2. Ableitung.
>
> Diese muss ich ja nun auf Konvexität und Konkavität
> untersuchen, also: wann ist die Funktion < oder > 0?
>
> Aber wie gehe ich bei so etwas am klügsten vor? Kann ich
> mich an den vorhergehenden Aufgaben irgendwie richten, zB
> an Nullstellen oder ähnlichem?
Ja. Du kannst die Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, und dann untersuchst Du die Bereiche dazwischen.
Hier: f''(x)= [mm] 2e^x(2e^x [/mm] -1)=0 ==> [mm] 2e^x [/mm] -1=0 ==> [mm] e^x=\bruch{1}{2} [/mm] ==> [mm] x=ln(\bruch{1}{2})= [/mm] -ln(2)
> In der Aufregung hätte ich
> zB jetzt nicht so schnell gesehen, dass es sich um die
> Intervalle (0,1/2) und (1/2, [mm]\infty)[/mm] handelt
Das kannst auch Du, selbst, wenn Du die unausgeklammerte 2. Ableitung hast:
[mm] f''(x)=4e^{2x}- 2e^x=4*e^x*e^x-2e^x=0 [/mm]
Weil [mm] e^x [/mm] niemals =0 wird, kannst Du durch [mm] 2e^x [/mm] dividieren und bekommst [mm] 2e^x-1=0.
[/mm]
Diese gleichung kannst Du bestimmt auflösen.
Du bekommst den Punkt [mm] x=ln(\bruch{1}{2}), [/mm] welcher Dir die x-Achse in zwei Teile teilt. In diesen Teilen schaust Du nun nach, ob f'' hier > oder <0 ist.
> Und vor allem, wieso nun f konkav ist in (- [mm]\infty,[/mm]
> ln(0,5)) (dies war die einzige Nullstelle der 2. Ableitung
> und es war eine Wendestelle) und konvex in (ln(0,5),
> [mm]\infty).[/mm]
> Offenbar wird bei der Konkavität ganz oft it den
> Wendestellen/Extrema gespielt, aber dieses "Spiel"
> durchschaue ich nicht so ganz. Ich sehe die "Regel" hier
> nicht.
Da, wo die zweite Ableitung > 0 ist, ist's konvex, und da, wo sie <0 ist, ist's konkav. Die Nullstellen der 2. Ableitung trennen diese Bereiche ggf.
>
> Ein anderes "Spiel" ist das mit dem Vorzeichenwechsel um
> eine Wendestelle zu erhalten.
Das ist genau dasselbe. Eine Wendestelle ist eine Stelle, in der die Krümmungsrichtung wechselt.
> Ich habe bei einer Funktion [mm]\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm] als einzige
> NST 0, als lokales Minimum -1.
> Aber nun zur 2 Ableitung: Diese ist [mm]\bruch{2x+4}{(x-1)^4}[/mm]
> Diese ist=0 für x=-2 und aufgrund des Vorzeichenwechsels
> (wo liegt dieser denn vor?) habe ich in -2 einen
> Wendepunkt. Warum?
Es ist f''(-2)=0, also ist x=-2 wendepunktverdächtig.
Links von -2 ist die 2. Ableitung überall <0, denn der Nenner ist >0, der Zähler <0.
Rechts von -2 ist die 2. Ableitung überall >0, denn der Nenner ist >0, der Zähler >0
Also wechselt bei x=-2 das Vorzeichen der 2.Ableitung ==> Wendepunkt.
Gruß v. Angela
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> Da, wo die zweite Ableitung > 0 ist, ist's konvex, und da,
> wo sie <0 ist, ist's konkav. Die Nullstellen der 2.
> Ableitung trennen diese Bereiche ggf.
>
Das macht Sinn. Aber ich frage mich bei der Funktion, wie man auf das Ergebnis kommt:
[mm] 4y^2-2y=0 [/mm] für y=1/2 und y=0, aber es wurde ja substituiert, also [mm] e^x=y, [/mm] damit habe ich nur ln(0,5)
Nun schaue ich wo meine Funktion konvex/kokav ist, also
[mm] 4y^2-2y<0 [/mm] auf (0,1/2), macht Sinn, weil es nur dann kleiner wird, wenn [mm] y^2 [/mm] etwas ziemlich kleines ist.
[mm] 4y^2-2y>0 [/mm] auf (1/2, [mm] \infty) [/mm] macht ja soweit auch Sinn, aber wieso dann:
konkav auf [mm] (-\infty, [/mm] ln(0,5)) und konvex auf [mm] (ln(0,5),\infty)? [/mm] Für negative Werte wird diese 2. ABleitung doch wieder positiv?
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> >
> > Da, wo die zweite Ableitung > 0 ist, ist's konvex, und da,
> > wo sie <0 ist, ist's konkav. Die Nullstellen der 2.
> > Ableitung trennen diese Bereiche ggf.
> >
>
> Das macht Sinn. Aber ich frage mich bei der Funktion, wie
> man auf das Ergebnis kommt:
>
> [mm]4y^2-2y=0[/mm] für y=1/2 und y=0, aber es wurde ja substituiert,
> also [mm]e^x=y,[/mm] damit habe ich nur ln(0,5)
>
> Nun schaue ich wo meine Funktion konvex/kokav ist,
Hallo,
ja, jetzt gucken wir
1. links von y=0, also für y<0 da ist [mm] 4y^2-2y=2y(2y-1) [/mm] positiv
2. für [mm] 0
3. rechts von [mm] y=\bruch{1}{2}, [/mm] also für [mm] y>\bruch{1}{2}: [/mm] da ist [mm] 4y^2-2y=2y(2y-1) [/mm] positiv
Also haben wir
[mm] \green{A.} 4y^2-2y=2y(2y-1) [/mm] positiv für [mm] e^x=y\in ]-\infty, [/mm] 0[ [mm] \cup]\bruch{1}{2}, \infty[
[/mm]
Nun mußt Du Dir überlegen, für welche x [mm] \qqad e^x [/mm] in diesen beiden Intervallen liegt. Fürs erste Intervall gibt's so ein x nicht, und im zweiten Intervall sind's gerade die x mit [mm] x\in ]ln(\bruch{1}{2}), \infty[.
[/mm]
(Du kannst es sehr geheim (kein Mathematiker darf es sehen!) so machen: [mm] e^x\in]\bruch{1}{2}, \infty[ [/mm] ==> [mm] x=ln(e^x)\in ]ln(\bruch{1}{2}),ln(\infty)[=]ln(\bruch{1}{2}), \infty[. [/mm] )
[mm] \green{B.} 4y^2-2y=2y(2y-1) [/mm] negativ für [mm] e^x=y\in ]0,\bruch{1}{2} [/mm] [
Jetzt wieder irrsinnig geheim (!): ==> [mm] x=ln(e^x) \in ]ln(0),ln(\bruch{1}{2}) [/mm] [
Natürlich ist ln(0) überhaupt nicht definiert, aber guck Dir die ln-Funktion an: wenn x gegen 0 geht, geht ln(x) gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Also x= [mm] \in ]-\infty, ln(\bruch{1}{2}) [/mm] [
Gruß v. Angela
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Lieben Dank für die Mühe! Kannst du mir aber vielleicht kurz sagen, was die eckigen Klammern bedeuten? Diese Schreibweise kenn ich so noch nicht.
Außerdem habe ich ja die Rechnung, wie ich sie gerade geschrieben habe, im Grundsatz auch nachvollziehen können, oder ist diese komplett falsch? Ich habe nur nicht ganz verstanden warum bei dem Intervall die 0 gegen ein [mm] -\infty [/mm] getauscht wurde. Ich hätte es bei 0 belassen.
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> Lieben Dank für die Mühe! Kannst du mir aber vielleicht
> kurz sagen, was die eckigen Klammern bedeuten? Diese
> Schreibweise kenn ich so noch nicht.
Hallo,
das sind bei Euch die runden Klammern, also Intervalle, zu denen die Enden nicht dazugehören.
>
> Außerdem habe ich ja die Rechnung, wie ich sie gerade
> geschrieben habe, im Grundsatz auch nachvollziehen können,
> oder ist diese komplett falsch?
Nein, ich habe das nur nochmal ein bißchen anders aufgeschrieben.
> Ich habe nur nicht ganz
> verstanden warum bei dem Intervall die 0 gegen ein [mm]-\infty[/mm]
> getauscht wurde. Ich hätte es bei 0 belassen.
Also etwas anders als zuvor:
Du suchst doch das x für welches [mm] e^x=0 [/mm] wird. das ist nie der Fall, aber es ist [mm] \lim_{x\to -\infty}e^x=0, [/mm] daher das [mm] -\infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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