Krümmung und Transformationen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mo 29.12.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Zeige:
- Äquivalente kurven haben vllt bis auf das Vorzeichen in bestimmten Punkten, gleiche Vorzeichen. Orientiertäquivalente Kurven haben gleiche Krümmungen.
-Unter affinen Transform. a(x)=C+A*x gehe [mm] x:I->\IR^2 [/mm] in die transf. Kurve [mm] \overline{x}=a [/mm] o x über.
die Krümmungen hängen wie folgt zusammen:
[mm] \overline{k}(t)=det(A)*\bruch{|x'|^3}{|Ax'|^3}k(t), [/mm] wobei k(t) die Krümmung ist. |
guten morgen auch zusammen :)
also bei dem ersten teil habe ich den ansatz gemacht:
x(t) ist meine reg. kurve:
[mm] \overline{x}=x [/mm] o [mm] \gamma [/mm] , [mm] \gamma:I->I' [/mm] Parametertransf.
[mm] \overline{x}(t)' [/mm] = [mm] x'(\gamma)(t) [/mm] * [mm] \gamma'(t)
[/mm]
[mm] \overline{x}(t)'' [/mm] = [mm] x''(\gamma)(t) [/mm] * [mm] \gamma'(t) [/mm] + [mm] \gamma''(t) [/mm] * [mm] x'(\gamma)(t)
[/mm]
bis jetz richtig?
mit der frenetschen formel, dass kappa [mm] k(t)=\bruch{det(\overline{x}(t)',\overline{x}(t)'')}{|\overline{x}(t)'|^3} [/mm]
wollt ich versuchen eben die parametertransformationen rauszuhauen:
[mm] \bruch{det\pmat{ x_1'(\gamma(t))\gamma'(t) & x_1''(\gamma(t))\gamma^2(t) + x_1'(\gamma(t))\gamma''(t) \\ x_2'(\gamma(t))\gamma'(t) & x_2''(\gamma(t))\gamma^2(t) + x_2'(\gamma(t))\gamma''(t)} } {|x'(\gamma)(t) * \gamma'(t))|^3}
[/mm]
nur so wie ich das eingesetzt und ausgerechnet habe, kommt da [mm] \gamma'(t) (x_1'x_2''-x_2'x_1'') [/mm] / |x'| heraus und hab kein plan, wie ich hierzu argumentieren kann, falls das überhaupt stimmen sollte....
bei dem letzten weiß ich überhaupt nicht, wie ich daran gehen kann....
ich hätte nämlich l:=A*x einfach abgeleitet, in die frenetschen formeln eingesetzt und versucht durch umformungen auf die obige form zu kommen...
ich bedank mich schon einmal für das mühevolle durchlesen^^
lg und guten rutsch in 2 tagen!!
eumel
ps:die frage wurde nur hier gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige:
> - Äquivalente kurven haben vllt bis auf das Vorzeichen in
> bestimmten Punkten, gleiche Vorzeichen.
> Orientiertäquivalente Kurven haben gleiche Krümmungen.
> -Unter affinen Transform. a(x)=C+A*x gehe [mm]x:I->\IR^2[/mm] in
> die transf. Kurve [mm]\overline{x}=a[/mm] o x über.
> die Krümmungen hängen wie folgt zusammen:
> [mm]\overline{k}(t)=det(A)*\bruch{|x'|^3}{|Ax'|^3}k(t),[/mm] wobei
> k(t) die Krümmung ist.
> guten morgen auch zusammen :)
> also bei dem ersten teil habe ich den ansatz gemacht:
> x(t) ist meine reg. kurve:
> [mm]\overline{x}=x[/mm] o [mm]\gamma[/mm] , [mm]\gamma:I->I'[/mm] Parametertransf.
>
> [mm]\overline{x}(t)'[/mm] = [mm]x'(\gamma)(t)[/mm] * [mm]\gamma'(t)[/mm]
> [mm]\overline{x}(t)''[/mm] = [mm]x''(\gamma)(t)[/mm] * [mm]\gamma'(t)[/mm] +
> [mm]\gamma''(t)[/mm] * [mm]x'(\gamma)(t)[/mm]
>
> bis jetz richtig?
>
> mit der frenetschen formel, dass kappa
> [mm]k(t)=\bruch{det(\overline{x}(t)',\overline{x}(t)'')}{|\overline{x}(t)'|^3}[/mm]
>
> wollt ich versuchen eben die parametertransformationen
> rauszuhauen:
>
> [mm]\bruch{det\pmat{ x_1'(\gamma(t))\gamma'(t) & x_1''(\gamma(t))\gamma^2(t) + x_1'(\gamma(t))\gamma''(t) \\ x_2'(\gamma(t))\gamma'(t) & x_2''(\gamma(t))\gamma^2(t) + x_2'(\gamma(t))\gamma''(t)} } {|x'(\gamma)(t) * \gamma'(t))|^3}[/mm]
>
> nur so wie ich das eingesetzt und ausgerechnet habe, kommt
> da [mm]\gamma'(t) (x_1'x_2''-x_2'x_1'')[/mm] / |x'| heraus
Da hast du dich verrechnet, denn es kommt [mm] $\bruch{(x_1'x_2''-x_2'x_1'')}{|x'|^3} [/mm] = [mm] \bruch{\det(x(t)',x(t)'')}{|x(t)'|^3}$ [/mm] heraus.
> bei dem letzten weiß ich überhaupt nicht, wie ich daran
> gehen kann....
>
> ich hätte nämlich l:=A*x einfach abgeleitet, in die
> frenetschen formeln eingesetzt und versucht durch
> umformungen auf die obige form zu kommen...
Ja, und das ist sogar ganz einfach, denn der Zähler liefert dir den Faktor [mm] $\det(A)$, [/mm] der Rest bleibt stehen.
Viele Grüße
Rainer
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