Kubische Gleichung reduzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine kubische Gleichung [mm] y^3+ay^2+by+c=0 [/mm] mit a,b,c [mm] \varepsilon \IR [/mm] und gesuchtem y. Transformieren Sie diese Gleichung auf eine kubische Gleichung der Gestal [mm] x^3+px+q=0
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie den Ansatz y=x+k mit einem zu bestimmenden k [mm] \varepsilon \IR [/mm] |
Hallo zusammen,
Also mein Ziel soll es ja sein, die Gleichung so umzuformen, dass das quadratische Glied [mm] "ay^2" [/mm] wegfällt.
Allerdings verstehe ich schon den Hinweis für den Ansatz nicht:
Wieso sollte ich den y durch 2 Komponenten Y=x+k ausrücken wollen?
Ich habe mich auf diversen Internetseiten versucht zu dem Thema einzulesen und bin oft über Substitution gestoßen- Aber mich interessiert für das eigene Verständnis grade mehr, wie man an sowas rangeht!
Wieso hat die Gleichung ohne das quadratische Glied [mm] (x^3+px+q [/mm] denn jetzt x als Variable und nicht mehr y--> Zusammenhang mit Substitution?)
Also im Moment stehe ich vor einem unüberwindbaren Berg, da ich eig keine Idde hätte, was ich mit einer Gleichung machen muss, um das quadratische Glied wegzubekommen?!
Also konkret meine Fragen:
Warum fordert der Hinweis y als x+k auszurücken?
Wie gehe ich zunächst vor, um das quadratische Glied zu entfernen?
Ich verlange natürlich von keinem, mir eine Lösung zu liefern, ohne dass ich selbst wirklich eine Leistung erbracht hätte, allerdings wäre ich für die Klärung meiner Fragen sehr dankbar-dann werde ich alles daran setzen diese Aufgabe durch Knobeln zu lösen, was mir grade leider nicht möglich ist.
Danke schonmal an alle, die sich die Mühe machen!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Theoretix
Substitution heisst ja Ersetzung. Die Idee einer Substitution ist, eine Variable durch eine "neue Variable", die natuerlich in einem Zusammenhang stehen muss mit der alten, zu ersetzen und fuer die neue Variable wird es einfacher.
Bsp. Betrachte die Gleichung [mm] $y^2-2y-3=0$. [/mm] Wenn ich jetyt die Variable $y$ durch $x+1$ ersetze bekomme ich [mm] $(x+1)^2-2(x+1)-3=0$ [/mm] oder vereinfacht [mm] $x^2-4=0$. [/mm] Fuer die neue Gleichung sehe ich sofort, dass sie die Loesungen [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=-2$. [/mm] Da $y=x+1$ gilt muessen also die Loesungen fuer die urspruengliche Gleichung [mm] $y_1=x_1+1=3$ [/mm] und [mm] $y_2=x_2+1=-1$ [/mm] sein.
Hier geht es jetzt um die Frage wie muss man $k$ waehlen, dass bei der Substitution $y=x+k$ der quadratische Term verschwindet. Die neue Gleichung ist dann natuerlich eine Gleichung in x. Um das herauszufinden ersetzt man also $y=x+k$ in der Gleichung ordnet nach Potenzen von $x$. Dann waehlt man $k$ so, dass der Koeffizient fuer den quadratischen Term gleich 0 ist. Die Loesung fuer k ist dann natuerlich ein Term in den Koeffizienten a, b, c der urspruenglichen Gleichung.
Zur Illustration wieder an meinem Beispiel [mm] $y^2-2y-3=0$. [/mm] Wie muss man k in der Substitution $y=x+k$ waehlen, damit der lineare Term verschwindet. Einsetzt fuehrt zu [mm] $(x+k)^2-2(x+k)-3=x^2+(2k-2)x+k^2-2k-3=0$. [/mm] Der Koeffizient des linearen Terms ist hier $2k-2$, also muss k=1 sein, damit dieser Term verschwindet.
Dass kann man jetzt noch verallgemeinern. Seit [mm] $y^2+ay+b=0$ [/mm] und $y=x+k$. Wei muss man $k$ waehlen, damit der lineare Term verschwindet. $y=x+k$ eingesetzt fuehrt zu [mm] $(x+k)^2+a(x+k)+b=x^2+(a+2k)x+k^2+ak+b$. [/mm] Damit der lineare Term verschwindet muss [mm] $k=-\frac [/mm] a2$ sein.
mfG Moudi
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Also zuerst einmal vielen Danke für die schnelle und ausführlich Antwort!
Wenn ich das soweit richtig verstanden habe, gibt der Hinweis mir schon vor, dass ich y durch x+k substituiere und dann k so bestimmen soll, dass das quadratische Glied rausfällt?! Dann bekomme ich also nach Umformen k=....
Wie mache ich dann weiter? also ich habe dann irgendwann k so bestimmt, dass das quadr. Glied wegfällt und dann bin ich fertig, oder muss ich noch Rücksubstitution bzw. andere Schritte machen, um die gesuchte reduzierte Form zu erhalten?
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Also zuerst einmal vielen Danke für die schnelle und
> ausführlich Antwort!
>
> Wenn ich das soweit richtig verstanden habe, gibt der
> Hinweis mir schon vor, dass ich y durch x+k substituiere
> und dann k so bestimmen soll, dass das quadratische Glied
> rausfällt?! Dann bekomme ich also nach Umformen k=....
> Wie mache ich dann weiter? also ich habe dann irgendwann k
> so bestimmt, dass das quadr. Glied wegfällt und dann bin
> ich fertig, oder muss ich noch Rücksubstitution bzw.
> andere Schritte machen, um die gesuchte reduzierte Form zu
> erhalten?
Wenn Du das k so bestimmt hast, daß das quadratische Glied
wegfällt, dann bist Du fertig.
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 24.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Vielen Dank, dann mache ich mich an's rechnen und berichte Zwischenergebnisse, falls Fragen auftreten!
Schönen Abend noch!
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Wenn ich bei [mm] y^3+ay^2+by+c=0 [/mm] substituiere y=x+k
erhalte ich:
[mm] (x+k)^3+a(x+k)^2+b(x+k)+c=0
[/mm]
und die Klammern löse ich gemäß [mm] (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/mm] bzw
[mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] auf:
Also erhalte ich:
[mm] x^3+3x^2k+3xk^2+k^3+a(x^2+2xk+k^2)+b(x+k)+c=0
[/mm]
nun habe ich die Klammern noch ausmultipliziert:
[mm] x^3+3x^2k+3xk^2+k^3+ax^2+2axk+ak^2+bx+bk+c=0
[/mm]
Nur kommt mir das ganze jetzt sehr mysteriös vor:
Zum einen sehe ich so keine Möglichkeit diesen ewig langen Term zu vereinfachen, zumal ich ja letztendlich das Ziel habe k so zu wählen, sodass der Koeffizient des quadratischen Glieds= 0 wird.
Wo liegt mein Fehler bzw. wie kann ich etwa doch vereinfachen, um weiter zu kommen?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 24.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
> [mm]x^3+3x^2k+3xk^2+k^3+ax^2+2axk+ak^2+bx+bk+c=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sortiere nun nach den einzelnen x-Potenzen:
[mm]x^3+(...)*x^2+(...)*x+(...) \ = \ 0[/mm]
Und die Klammer vor dem [mm]x^2[/mm] muss dann Null ergeben.
Gruß
Loddar
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Wenn ich:
[mm] x^3+3x^2k+3xk^2+k^3+ax^2+2axk+ak^2+bx+bk+c=0
[/mm]
nach x Potenzen ordne, erhalte ich zunächst mal:
[mm] x^3+3x^2k+ax^2+3xk^2+2ax+bx+ak^2+k^3+c=0
[/mm]
(wobei mich ja im Kontext nur die [mm] x^2 [/mm] interessieren, da k ja so gewählt werden soll, dass der Koeffizient von [mm] x^2= [/mm] 0 ist, sodass das quadr. Glied rausfällt)
Also habe ich hier 2 Glieder mit [mm] x^2: [/mm]
[mm] 3x^2k+ax^2, [/mm] die Koeffizeinten sollen 0 werden, also
3k+a=0 führt zu : k= [mm] -\bruch{a}{3} [/mm] ??
Liege ich da soweit richtig?
Falls ja, hab' ich als Zwischenergebnis: k muss als k= [mm] -\bruch{a}{3} [/mm] gewählt werden, dass das quadr. Glied rausfällt.
Aber wie mache ich (sofern korrekt) jetzt weiter, um oben genannte Aufgabenstellung zu erfülle?
Setze ich k jetzt irgendwo ein? Weil ich hab' jetzt substituiert (y=x+k) und für k einen Wert bekommen, dass der Koeffizeint von [mm] x^2= [/mm] 0 ist, aber dadurch habe ich die Ursprüngliche Gleichung ja noch nicht in die gesuchte überführt?
Welcher Schritt fehlt mir noch?
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
doch, Du bist im Prinzip fertig.
> Wenn ich:
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> [mm]x^3+3x^2k+3xk^2+k^3+ax^2+2axk+ak^2+bx+bk+c=0[/mm]
> nach x Potenzen ordne, erhalte ich zunächst mal:
> [mm]x^3+3x^2k+ax^2+3xk^2+2ax+bx+ak^2+k^3+c=0[/mm]
>
> (wobei mich ja im Kontext nur die [mm]x^2[/mm] interessieren, da k
> ja so gewählt werden soll, dass der Koeffizient von [mm]x^2=[/mm] 0
> ist, sodass das quadr. Glied rausfällt)
>
> Also habe ich hier 2 Glieder mit [mm]x^2:[/mm]
> [mm]3x^2k+ax^2,[/mm] die Koeffizeinten sollen 0 werden, also
> 3k+a=0 führt zu : k= [mm]-\bruch{a}{3}[/mm] ??
> Liege ich da soweit richtig?
> Falls ja, hab' ich als Zwischenergebnis: k muss als k=
> [mm]-\bruch{a}{3}[/mm] gewählt werden, dass das quadr. Glied
> rausfällt.
Ja, so ist es.
> Aber wie mache ich (sofern korrekt) jetzt weiter, um oben
> genannte Aufgabenstellung zu erfülle?
> Setze ich k jetzt irgendwo ein? Weil ich hab' jetzt
> substituiert (y=x+k) und für k einen Wert bekommen, dass
> der Koeffizeint von [mm]x^2=[/mm] 0 ist, aber dadurch habe ich die
> Ursprüngliche Gleichung ja noch nicht in die gesuchte
> überführt?
>
> Welcher Schritt fehlt mir noch?
Wo Du das ganze Gemüse schon ausgerechnet hast, setz mal k in den ganzen Term ein. Du bekommst dann eine Gleichung dritten Grades in y, die kein quadratisches Glied mehr enthält.
Und das war das Ziel.
Vergiss nie, wo Du hinwillst. Es spart viel Arbeit. 
Grüße
reverend
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Danke dir für die schnelle Antwort!
Also für k einfach [mm] -\bruch{a}{2} [/mm] in die von mir geordnete Gleichung einsetzen, zusammenfassen und ich müsste auf die Form: [mm] x^3+px+q= [/mm] 0 kommen?
Wäre ja super=)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
> Also für k einfach [mm]-\bruch{a}{2}[/mm] in die von mir
Nanana ... $k \ = \ [mm] -\bruch{a}{\red{3}}$ [/mm] !
> geordnete Gleichung einsetzen, zusammenfassen und ich
> müsste auf die Form: [mm]x^3+px+q=[/mm] 0 kommen?
Aber besser ist die Substitution $y \ = \ [mm] x-\bruch{a}{3}$ [/mm] in die Ausgangsgleichung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ja, es ist schon spät, danke!=)
Danke dir für die Hilfe!
Schönen Abend noch.
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Also ich habe nun [mm] y=x-\bruch{a}{3} [/mm] in die Ausgangsgleichung:
[mm] y^3+ay^2+by+c= [/mm] 0 eingesetzt, mit dem Ziel, dass der quadratische Term wegfällt und ich auf die von der Aufgabe geforderte Form:
[mm] "x^3+px+q=0" [/mm] transformieren kann:
[mm] (x-\bruch{a}{3})^3 +a(x-\bruch{a}{3})^2 [/mm] + [mm] b(x-\bruch{a}{3})+c=0
[/mm]
nun löse ich zunächst die Potenzen auf und erhalte:
[mm] x^3-3x^2*(-\bruch{a}{3})+3x(\bruch{a^2}{9})-(-\bruch{a}{3})^3+ a(x^2-2x*(-\bruch{a}{3}) [/mm] + [mm] \bruch{a^2}{9})+b(x-\bruch{a}{3})+c=0
[/mm]
Wenn ich jetzt (was eben möglich ist) kürze und alles zu dem Hauptnenner 27 erweitere und mit diesem durchmultipliziere, sodass der Nenner wegfällt, erhalte ich:
[mm] 27x^3+9ax^2+9a^2x-a^3+27ax^2+18a^2x+3a^2+27bx-9ab+c=0
[/mm]
jetzt kann ich jeweils [mm] 9ax^2+27ax^2 [/mm] und 9a^2x+18a^2x zusammenfassen und alles nach Potenzen ordnen und erhalte:
[mm] 27x^3+36ax^3+27a^2x+27bx-9ab+3a^2-a^3+c=0
[/mm]
das ist jetzt alles andere, als gewünscht=(
Also auch wenn ich mich evt an einer Stelle verrechnet haben könnte, ich komme beim besten Willen nicht auf die gewünschte Form:
[mm] y^3+ay^2+by+c=0, [/mm] geschweige denn, dass wenigstens wie gewünscht der quadratische Term rausfällt- dabei hatte ich doch k schon (scheinbar richtig) bestimmt mit [mm] k=-\bruch{a}{3}, [/mm] womit sich für y durch die Substitutionsbedingung [mm] y=x-\bruch{a}{3} [/mm] ergibt, was ich ja einfach jetzt in die Urprungsgleichung eingesetzt habe ?!
Habe leider keine Ahunung, wo mein Fehler liegt und wie ich jetzt letztendlich auf meine Wunschgleichung komme...?!
Wäre euch für Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
da hast Du Zeit verschenkt. Ansonsten ist aber nichts Schlimmes passiert, nur ein Vorzeichenfehler mit schweren Folgen. Nimm Dir einen andersfarbigen Stift zur Korrektur (ich hasse da Rot und verwende lieber Orange oder Pink...) und ändere in den etwa ersten drei Vierteln Deiner Rechnung ein paar Vorzeichen.
Du hattest vorliegen: [mm] x^3+ax^2+bx+c=0
[/mm]
Die Substitution ist [mm] y=x+\bruch{a}{3}, [/mm] also [mm] x=y-\bruch{a}{3}.
[/mm]
Aus der Ausgangsgleichung wird also [mm] \left(y-\bruch{a}{3}\right)^3+a\left(y-\bruch{a}{3}\right)^2+b\left(y-\bruch{a}{3}\right)+c=0
[/mm]
Wenn Du jetzt ausmultiplizierst, findet sich in der Umformung der ersten Klammer der Term [mm] -3*\bruch{a}{3}y^2 [/mm] und in der der zweiten Klammer der Term [mm] +a*y^2. [/mm] Die heben sich auf, und Dein "neues" Polynom dritten Grades in y hat keinen quadratischen Term mehr. Das war Ziel der Sache.
Schlag mal ![[]](/images/popup.gif) Cardanische Formeln nach, die beginnen mit genau dieser Substitution, weil man sie erst danach anwenden kann. Nur dass in Wikipedia unser y eben z heißt, aber das stört ja nicht, oder?
Grüße
reverend
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Danke für den Hinweis mit dem Vorzeichenfehler!
Habe es jetzt nochmals gerechnet und die Vorzeichen verbessert und folgendes erhalten:
[mm] x^3+ax^2+bx+c=0 [/mm] mit der Substitution [mm] x=y-\bruch{a}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (y-\bruch{a}{3})^3+a(y-\bruch{a}{3})^2+b(y-\bruch{a}{3})+c=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^3-3y^2*\bruch{a}{3}+3y*\bruch{a^2}{9}-\bruch{a^3}{27}+a(y^2-\bruch{2ya}{3}+\bruch{a^2}{9})+by-\bruch{ab}{3}+c=0
[/mm]
nun sehe ich, wie richtig bemerkt wurde, dass das quadr. Glied rausfällt
[mm] (-ay^2+ay^2), [/mm] zudem kann man noch zusammenfassen, eweitern und mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren, sodass man erhält:
[mm] 27y^3-9a^2y+27by+2a^3-9ab+c=0 [/mm] (?)
Also zumindest sieht man, dass das quadratische Glied nun weggefallen ist.
Allerdings frage ich mich noch, ob mit der Lösung so auch gemäß der Aufgabenstellung, die Aufgabe gelöst ist:
Habe ich mit dieser Gleichung die kubische Gleichung [mm] y^3+ay^2+by+c=0 [/mm] zu einer kubischen Gleichung der Gestalt [mm] x^3+px+q [/mm] umgeformt?
Ich würde sagen, ja, da ich eine Gleichung 3. Grades vorliegen habe, bei der das quadr. Glied ruasgefallen ist und ich lediglich noch ein einfaches x+ eine Zahl habe...Was mich verunsichert: Ist es egal, dass ich als koeffizient nicht wie gegeben eine Variable p bzw hier "a" habe, sondern das ganze etwas komplexer in der Form "-9a^2y+27by" dasteht?
Würde mich über eine kurze Antwort freuen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
Die Form [mm] $\red{1}*x^3+p*x+q [/mm] \ = \ 0$ hats du hier nicht ganz. Dafür musst Du Deine Gleichung wiederum durch 27 teilen.
Dass dann die Glieder $p_$ bzw. $q_$ aus etwas längeren Termen bestehen, ist egal und nicht falsch.
Gruß
Loddar
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Dann ist die Form doch wieder nicht ganz korrekt, oder?!:
Gesucht ist die Form:
[mm] x^3+px+q=0, [/mm] wie du schon gesagt hast, also genau gesagt
[mm] 1*x^3+1*px+1*q=0 [/mm] (?)
Rausbekommen habe ich zunächst:
[mm] 27y^3-9a^2y+27by+2a^3-9ab+c=0
[/mm]
Wenn ich, wie du vorgeschlagen hast, durch 27 dividiere ist der Koeffizient von der 3. Potenz zwar 1, jedoch bekomme ich ja dann für den linearen Term:
[mm] "-\bruch{a^2y}{3}+by" [/mm] --> Koeffizient ist hier [mm] \bruch{1}{3},
[/mm]
oder nicht?
Oder wäre das so dann völlig korrekt?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Di 26.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
> Wenn ich, wie du vorgeschlagen hast, durch 27 dividiere ist
> der Koeffizient von der 3. Potenz zwar 1, jedoch bekomme
> ich ja dann für den linearen Term: [mm]-\bruch{a^2y}{3}+by[/mm]
> --> Koeffizient ist hier [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Klammere [mm]y_[/mm] aus. Damit ergibt sich für diesen Koeffizienten:
[mm]p \ := \ -\bruch{a^2}{3}+b[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Di 26.10.2010 | | Autor: | Theoretix |
Ok, danke, hat bisschen gebraucht!=)
Gruß
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