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| Aufgabe | | Man berechne mit der Methode des Lagrangeschen Multiplikators die kürzeste Entfernung des Punktes (2, 2) vom Einheitskreis. |
Hallo liebe Forengemeinde,
ich stehe mal wieder vor einem Riesenproblem. Leider weiß ich nur noch ein ganz kleines Bisschen über die Langrange-Funktion - nämlich soviel, dass man eine Nebenbedingung braucht.
Diese leite über den Satz des Pythagoras ab, so weit ich mich erinnere:
N:= x² + y² = 1
[mm] \gdw [/mm] x² + y² - 1 = 0
Also müsste doch die kürzeste Entfernung eines Punktes (2,2) dem Ergebnis folgender Funktion entsprechen:
[mm] d:=\wurzel[2]{(x-2)² + (y-2)²}
[/mm]
Aber wie läuft das Ganze jetzt weiter? Was hat Herr Langrange damit zu tun und vor allem - wie kann ich seine Weisheiten nutzen, um auf den Abstand zu kommen?
Ich danke jetzt schon für Hilfe,
freundlichst,
Nick
Ich habe das hier in keinem anderen Forum geschrieben.
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> Man berechne mit der Methode des Lagrangeschen
> Multiplikators die kürzeste Entfernung des Punktes (2, 2)
> vom Einheitskreis.
> ich stehe mal wieder vor einem Riesenproblem. Leider weiß
> ich nur noch ein ganz kleines Bisschen über die
> Langrange-Funktion - nämlich soviel, dass man eine
> Nebenbedingung braucht.
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> Diese leite über den Satz des Pythagoras ab, so weit ich
> mich erinnere:
>
> N:= x² + y² = 1
> [mm]\gdw[/mm] x² + y² - 1 = 0
>
> Also müsste doch die kürzeste Entfernung eines Punktes
> (2,2) dem Ergebnis folgender Funktion entsprechen:
>
> [mm]d:=\wurzel[2]{(x-2)² + (y-2)²}[/mm]
>
> Aber wie läuft das Ganze jetzt weiter? Was hat Herr
> Langrange damit zu tun und vor allem - wie kann ich seine
> Weisheiten nutzen, um auf den Abstand zu kommen?
Hallo,
ich finde, Du hast gute Vorarbeit geleistet.
Es steht Deine Abstandsfunktion [mm] f(x,y)=\wurzel{(x-2)² + (y-2)²}, [/mm] welche unter der Nebenbedingung x² + y² - 1 = 0 bzw. [mm] g(x,y)=x^2+y^2=1 [/mm] zu minimieren ist.
Wie das mit Lagrange im zweidimensionalen Fall geht, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen, insbesondere ist dort ein Beispiel vorgerechnet, an welchem Du Dich entlanghangeln kannst.
Ich finde das dort recht schön erklärt, daher fasse ich mich hier kurz:
1.Stell zunächst die Lagrangefunktion L auf , [mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] ( 1-g(x,y))
2. Berechne den Gradienten dieser Funktion in drei Variablen
3. Setze den Gradienten =0
4. Löse das System und finde die kritischen Punkte [mm] (x_k, y_k) [/mm] für die das System =0 wird
5. Ermittele, welcher der kritischen Punkte das Minimum ist.
Noch ein Hinweis: aus Monotoniegründen kannst Du auch statt mit [mm] f(x,y)=\wurzel{(x-2)² + (y-2)²} [/mm] mit dem Quadrat des Abstandes, h(x,y)=(x-2)² + (y-2)², rechnen, denn der Abstand ist ja dort minimal, wo auch sein Quadrat minimal ist.
Ich würde das tun - es ist behaglicher.
Gruß v. Angela
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Hi,
nach kurzer Pause und etwas längerem Studium Deines Links (danke Dir) habe ich, glaube ich, die Lösung gefunden:
Ich habe die entsprechende Langrange-Funktion aufgestellt:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] := (x-2)² + (y-2)² + [mm] \lambda [/mm] * (x² + y² - 1)
Jetzt erstelle ich die drei partiellen Ableitungen, mit Hilfe derer ich hoffentlich auf die kritischen Punkte komme:
nach x: 2x + [mm] 2*\lambda*x [/mm] - 4
nach y: 2y + [mm] 2*\lambda*y [/mm] - 4
nach [mm] \lambda: [/mm] x² + y² - 1
Nun habe ich etwas gegrübelt und festgestellt:
[mm] (2+\lambda) [/mm] * x = 4
[mm] (2+\lambda) [/mm] * y = 4
Somit ist 2 + [mm] \lambda [/mm] != 0
Damit gilt dann auch das x = y ist.
Eingesetzt in meine dritte Funktion sehe ich also:
x² + x² = 1, also: 2*x² = 1
x = y = [mm] \pm\bruch{1}{\wurzel[2]{2}}
[/mm]
Diese Ergebnisse setze ich jetzt in meine Abstandsfunktion ein und sehe:
Der Punkt [mm] (\bruch{1}{\wurzel[2]{2}}, \bruch{1}{\wurzel[2]{2}}) [/mm] hat die kürzeste Entfernung zum Punkt (2,2).
Richtig? :)
Danke dir auf jeden Fall.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> nach x: 2x + [mm]2*\lambda*x[/mm] - 4
> nach y: 2y + [mm]2*\lambda*y[/mm] - 4
> nach [mm]\lambda:[/mm] x² + y² - 1
Richtig.
> Nun habe ich etwas gegrübelt und festgestellt:
Hier hast Du Dich verschrieben (verrechnet?), Du klammerst oben 2x (bzw. 2y) aus und erhältst:
[mm](1+\lambda)2x = 4[/mm]
[mm](1+\lambda)2y = 4[/mm]
>
> Somit ist [mm]1 + \lambda \neq 0[/mm]
Richtig. (bis auf die 1)
> Damit gilt dann auch das x = y ist.
Richtig.
(...snip...)
> Richtig? :)
Richtig. =)
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