Kugel-Ring-Zylinder-Rennen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Kugel, ein Ring und ein Zylinder rollen eine Steigung hinunter. Kein Luftwiderstand, maximale Reibung.
(1)Wer kommt zuerst unten an ?
(2) Zeige, dass die Geschwindigkeit v weder von der Masse, noch vom Radius r abhängt ? |
OK, hier zuerst meine Rechnungen, die Frage steht unten:
die Summe aller Kräfte entlang des Hanges muss = 0 sein.
F - K - a* M = 0
(A.) <=> K = F - a * M = M* g * sin [mm] \phi [/mm] - a * M
hierbei ist F = Fg * sin [mm] \phi [/mm] = M * g * sin [mm] \phi
[/mm]
K stelle ich mir als die Kraft vor, die einen in der Luft losgelassenen
Gegenstand auf seiner Position hält; quasi die Kraft die seine kinetische
Energie bewirkt ... Sie wirkt hier jedoch ebsenso wie die Kraft F, die aus
der Gewichtskraft entsteht, NICHT im Schwerpunkt S sondern tangential
immer in dem Punkt, der am weitesten vom Boden (mit dem der Körper
ja über Reibungskraft verbunden ist) entfernt ist.
M = Masse und a = Beschleunigung (gesucht!)
[mm] \tau [/mm] = K * R (Drehmoment; R = Radius)
I = 1/2 * M * R² (Trägheitsmoment Zylinder)
[mm] \alpha [/mm] = a/R ( [mm] a_{t} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * R, da die Beschleunigung des Körpers in
seinem Schwerpunkt genau so gross ist wie R * Winkel in Bogenmass
( Berechnung für Kreisumfang! )
[mm] \tau [/mm] = I * [mm] \alpha
[/mm]
<=> K*R = 1/2 * M * R² * a/R
(B.) <=> K = 1/2 * M * a
Gleichsetzen von (A.) und (B.) ergibt:
1/2 * M * a = - M * a + M * g * sin [mm] \phi [/mm] | + M * a
<=> 3/2 * M * a = M * g * sin [mm] \phi [/mm] | /M | /(3/2)
<=> a = 2/3 * g * sin [mm] \phi
[/mm]
Ok, soweit habe ich mir den Lösungsweg zusammengebastelt aus der Aufgabenstellung, verschiedenen Formeln, verschiedenen anderen Aufgaben und der Lösung, die ich mir bereits vorher irgendwoher gesucht habe. Das Problem ist nun, das ich zwar ´nen tollen Lösungsweg habe, ihn im Grunde aber nicht ganz verstanden habe ... Zu meinen Fragen:
Ich bin, nachdem ich stundenlang darüber gebrütet habe, wieso ich 2 * g * sin [mm] \phi [/mm] statt 2/3 * g * sin [mm] \phi [/mm] als Ergebniss hatte, einfach dazu übergegangen, das Objekt von oben rechts nach unten links herunterrollen zu lassen statt von oben links nach unten rechts. Warum? Nun, weil ich dann das Drehmoment R * K positiv machen konnte, weil sich der verdammte Zylinder nun gegen den Uhrzeigersinn drehte und nicht mit ihm. Nun möchte ich des Teil aber auch gerne die andere Seite des Berges herunterrollen können, daher meine Frage:
Was ändert sich NOCH, wenn ich [mm] \tau [/mm] = R*K durch -R*K ersetze ? Es muss ja am Ende wieder a = 2/3 * g * sin [mm] \phi [/mm] rauskommen ...
meine zweite Frage ist:
Ist meine Vorstellung von K (s.o.) korrekt ?
mit freundlichen Grüssen, mit Erschöpfung, nicht aber ohne Hoffnung, in verbleibender Erwartung der Bestimmung der Weltformel, Leon ... ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Fr 08.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast über Kräfte ne falsche Vorstellung: Hier wirken genau 2 Kräfte 1. gewichtskrafrt vertikal, 2. Normalkraft der schiefen Ebene, senkrecht zur Ebene.
Dein Kraft K gibt es so nicht! insbesondere gibt es keine Kraft, die einen Körper den man loslässt "in der Luft hält"
Meinst du die Parabelbahn, die etwas auf der Erde durchläuft?
da wirkt nur G, sonst nichts!
Wenn man an rollende Körper denkt, dann greift die Gewichtskraft im Schwerpunkt an, der momentane Drehpunkt ist der Auflagepunkt, und das Drehmoment ist also [mm] m*g*R*sin\alpha., [/mm] für alle drei Körper.
die daraus resultierende Winkelbeschleunigung ist dann Drehmoment/Trägheitsmoment der 3 Körper.
da das verschieden ist,ist die Winkelbeschl. verschieden und damit auch die Beschleunigung des Schwerpunktes.
Aber einfacher rechnet man mit dem Energiesatz:
Die lageenergie wird in kinetische Energie umgesetzt, diese addiert sich aus "Translationsenergie des Schwerpunktes, [mm] m/2*v^2 [/mm] und Rotationsenergie um den Schwerpkt, [mm] I/2*w^2; [/mm] daraus lässt sich v in Abh. von der Höhe leichter berechnen.
statt die 2 Energien zu addieren, kann man auch einfach die
Rotationsenrgie um den momentanen Drehpkt. bestimmen.
Dein Problem mit nach rechts oder links geneigten Ebene versteh ich nicht, das drehmoment hat die entgegengesetzte Richtung, ebenso dreht sich das Ding andersrum und alles ist völlig symmetrisch.
Gruss leduart
Gruss leduart.
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< Dein Problem mit nach rechts oder links geneigten Ebene versteh ich
< nicht, das drehmoment hat die entgegengesetzte Richtung, ebenso
< dreht sich das Ding andersrum und alles ist völlig symmetrisch.
Das Drehmoment ist [mm] \tau [/mm] = K * R
bei Änderung der Drehrichtung bekommt es laut Buch angeblich ein negatives Vorzeichen (d.h. wenn die Drehrichtung im Uhrzeigersinn verläuft. Darum hab ich das Objekt von oben rechts nach unten links rollen lassen, damit ich ein positives Vorzeichen bekomme -> das Objekt dreht sich nun nämlich gegen den Uhrzeigersinn.)
Nun möchte ich wissen, was ich in meiner Formel zusätzlich zu
[mm] \tau [/mm] = - K * R ändern muss, um im Endergebniss wieder
2/3 * g * sin [mm] \phi [/mm] zu erhalten ... deine Antwort
< ... ebenso dreht sich das Ding andersrum ...
hat mir da nicht wirklich geholfen, sorry :/
Dann noch eine Frage ... was ist der Energiesatz ?
Meinst du den Energieerhaltungssatz der Mechanik ?
[mm] \Delta E_{mech} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] K + [mm] \Delta [/mm] U
sorry, das ich fragen muss :/ mfg, Leon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 08.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Energiesatz sagt: die Summe aller Energien ist konstant. was [mm] \Delta [/mm] k dabei soll weiss ich nicht, an anderer Stelle ist das ne Kraft.
hier gilt, Anfang, v=0 w=0 E_kin=0 lage bzw. potentielle energie E_pot=m*g*h
auf Höhe 0 E_pot=0 [mm] E=m/2v^2+I/2*w^2-m*g*h.
[/mm]
Das Drehmoment ist natuerlich auf beiden Seiten entgegengesetzt. aber es steht ja senkrecht auf der Bahn und auf der Kraft, du kannst es also sowieso zu nichts addieren.
Nochmal, die einzige wirkende kraft ist m*g, dein K gibt es so nicht. der Betrag des Drehmomentes ist bezogen auf den Auflagepunkt [mm] mg*sin\alpha, [/mm] als vektor zeigt es wenn die neigung auf deinem Papier von links oben nach rechts unten geht, ins Papier rein, wenn die Steigung umgekehrt ist aus dem Papier raus. ein -Zeichen vor den Betrag zu setzen macht nicht viel sinn.
Gruss leduart
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