Kugel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich komme mal wieder nicht weiter...
die aufgabenteile a-c konnte ich bearbeiten, aber an teil d bin ich gescheitert. sie lautet:
gegeben ist eine kugel k mit dem mittelpunkt (0/3/4) und dem radius = 7.
Geben sie den punkt auf der kugelschale von k an, er dem ursprung
1. am nächsten (N)
2. am entferntesten (F)
ist und berechnen sie den flächeninhalt des dreiecks von N,F und D= [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 10}
[/mm]
ich habe keine idee, wie ich die punkte N und F berechnen soll...
liebe grüße, tina
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo TinaHansen!
Ermittle die Gerade durch den Ursprung sowie den Kugel-Mittelpunkt und berechne die beiden Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kugel.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
okay, dann lautet meine grade durch U und M also:
[mm] \vec [/mm] r = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
für die schnittpunkte der geraden mit der kugel erhalte ich
[mm] \alpha_1 [/mm] = 6 und [mm] \alpha_2 [/mm] = -4 und somit die schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] : [mm] \vektor{0 \\ 18 \\ 24} [/mm] und [mm] S_2 [/mm] : [mm] \vektor{0 \\ -12 \\ -16}
[/mm]
was ist nun Punkt F und was N? un wie berechne ich das dreieck? muss ich dafür einfach die Beträge der Vektoren nehmen?
lg,tina
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> okay, dann lautet meine grade durch U und M also:
>
> [mm]\vec[/mm] r = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> für die schnittpunkte der geraden mit der kugel erhalte ich
> [mm]\alpha_1[/mm] = 6 und [mm]\alpha_2[/mm] = -4 und somit die schnittpunkte
> [mm]S_1[/mm] : [mm]\vektor{0 \\ 18 \\ 24}[/mm] und [mm]S_2[/mm] : [mm]\vektor{0 \\ -12 \\ -16}[/mm]
Das Ergebnis stimmt leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Gruß MathePower
|
|
|
| |
|
aber die gerade, ie ich aufgestellt habe ist doch richtig oder? habe nochmal nachgerechnet und ich erhalte wieder das ergebnis....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Tina!
Die Geradengleichung ist okay! Aber die beiden [mm] $\alpha$-Werte [/mm] stimmen leider nicht.
Hast Du vor Anwendung der  p/q-Formel auch die quadratische Gleichung in die Normalform [mm] $\red{1}*x^2+p*x+q [/mm] \ = \ 0$ gebracht?
Ich erhalte: [mm] $\alpha_1 [/mm] \ = \ 2.4$ und [mm] $\alpha_2 [/mm] \ = \ -0.4$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
okay, habe nachgerechtnet und erhalte jetzt auch 0,4 und 2,4 als werte. wenn ich ie einsetze, dann kommen als schnittpunkte [mm] S_1 [/mm] (0/7,2/9,6) und [mm] S_2 [/mm] (0/1,2/1,6) heraus und für das dreieck: 0,5 r * 2r = 49, ich hoffe, das stimmt;)? lg
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> okay, habe nachgerechtnet und erhalte jetzt auch 0,4 und
> 2,4 als werte. wenn ich ie einsetze, dann kommen als
> schnittpunkte [mm]S_1[/mm] (0/7,2/9,6) und [mm]S_2[/mm] (0/1,2/1,6) heraus
Der Wert 0,4 muß -0,4 sein. Deshalb hast Du auch einen falschen Schnittpunkt [mm]S_2[/mm] heraus.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
okay, der zweite schnittpunkt ist dann [mm] S_2 [/mm] (0/-1,2/-1,6) oder?
ist das dreieck mit der ffläsche 49 richtig? lg
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> okay, der zweite schnittpunkt ist dann [mm]S_2[/mm] (0/-1,2/-1,6)
> oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist das dreieck mit der ffläsche 49 richtig? lg
Das war dann ein Folgefehler.
Bei mir kommt für die Fläche des Dreiecks etwas anderes heraus.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
wie berechnet ich denn die fläche des dreiecks? muss ich einfach ie beträge der vektoren nehmen? wenn ja, wie mach ich das genau? lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Fugre |
> wie berechnet ich denn die fläche des dreiecks? muss ich
> einfach ie beträge der vektoren nehmen? wenn ja, wie mach
> ich das genau? lg
Hallo Tina,
an deiner Stelle würde ich das Kreuzprodukt zweier
Vektoren nutzen, die das Dreieck aufspannen.
Multiplizierst du zwei Vektoren, so entspricht
der Betrag des Kreuzprodukts dem Flächeninhalt des
Parallelogramms, das diese Vektoren aufspannen,
teilst du es durch zwei, so ist es der des Dreiecks.
Liebe Grüße
Nicolas
|
|
|
| |
|
dann bekomme ich für die fläche 11,52 raus, kann mir jemand sagen, ob das richtig ist? lg, tina
|
|
|
| |
|
Hallo TinaHansen,
> dann bekomme ich für die fläche 11,52 raus, kann mir jemand
> sagen, ob das richtig ist? lg, tina
ich erhalte da was anderes.
Die Punkte [mm]
N\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{ - 1.2} \\
{ - 1.6} \\
\end{array} } \right),\;F\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{7.2} \\
{9.6} \\
\end{array} } \right),\;D\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
6 \\
{10} \\
\end{array} } \right)
[/mm]
liegen alle auf der Kugel, demnach handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Deren Flächeninhalt sich zu [mm]
A_{Dreieck} \; = \;\frac{{\left| {N - D} \right|\;\left| {F - D} \right|}}
{2}\; = \;\frac{{14\;\sqrt {34} }}{5}\; \approx \;16.33[/mm] ergibt.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
