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Kugel: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mi 10.01.2007
Autor: kiffic

hab eine frage;   es gibt ja das gesetzt:

"Durch Gleichungen vom Typ [mm] x_{1}^{2}+ax_{1}+x_{2}^{2}+bx_{2}+x_{3}^{3}+cx_{3}+d=0 [/mm]
sind Kugeln im [mm] R^{3}" [/mm]

wie lautet dabei die bedingung für a,b,c und d??

und vielleicht habt ihr ja auch ein kleines bsp dazu...
merci und vielen dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mi 10.01.2007
Autor: hase-hh

moin k,

> hab eine frage;   es gibt ja das gesetzt:
>  
> "Durch Gleichungen vom Typ
> [mm]x_{1}^{2}+ax_{1}+x_{2}^{2}+bx_{2}+x_{3}^{3}+cx_{3}+d=0[/mm]
>  sind Kugeln im [mm]R^{3}"[/mm]

achso, ich gehe davon aus, dass du [mm] x_{3}^2 [/mm]  gemeint hast *g*.

> wie lautet dabei die bedingung für a,b,c und d??

im prinzip lautet die allg. kugelgleichung:

[mm] (x+m_{x})^2 [/mm] + [mm] (y+m_{y})^2 [/mm] + [mm] (z+m_{z})^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm]

wobei [mm] x=x_{1}, y=x_{2}, z=x_{3} [/mm]

[mm] m_{x} [/mm] / [mm] m_{y} [/mm] / [mm] m_{z} [/mm]   die koordinaten des mittelpunktes

und r dem Radius entspricht.

wenn du diese gleichung auspotenzierst und [mm] r^2 [/mm] auf die linke seite bringst
und das ergebnis soweit wie möglich zusammenfasst erhältst du "deine" form der kugelgleichung.

ich gehe davon aus, dass man über a,b,c,d  nichts spezifisches sagen kann
außer, dass diese alle Element [mm] \IR [/mm] sind.

beispiel:

M (-3 / 2 / -4)

[mm] (x+3)^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 [/mm] + [mm] (z+4)^2 [/mm] = [mm] \bruch{25}{4} [/mm]


[mm] x^2 [/mm] +6x +9   +   [mm] y^2 [/mm] -4y +4   +   [mm] z^2 [/mm] +8z +16 =  [mm] \bruch{25}{4} [/mm]
  
aha, es sieht so aus, als ob a, b und c

das Doppelte der jeweiligen Mittelpunktskoordinate multipliziert mit minus 1  ist.  


a=6x => [mm] m_{x}= [/mm] -3         allg.   a= [mm] 2*m_{x}*(-1) [/mm]  usw.

b=-4y =>  [mm] m_{y}= [/mm] 2

c=8z => [mm] m_{z}= [/mm] -4


[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z +29 =  [mm] \bruch{25}{4} [/mm]

[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z [mm] +\bruch{116}{4} [/mm] -  [mm] \bruch{25}{4} [/mm] =0

[mm] x^2 [/mm] +6x + [mm] y^2 [/mm] -4y + [mm] z^2 [/mm] +8z [mm] +\bruch{91}{4} [/mm] =0

also wäre  d  hier

d= [mm] \bruch{91}{4} [/mm]

wie gesagt, daraus kann man "rückwärts" den radius ausrechnen (indem man die binomischen ausdrücke mittels quadratischer ergänzung bildet),  aber nicht direkt ablesen!

hilft das?

gruß
wolfgang






Bezug
                
Bezug
Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 10.01.2007
Autor: kiffic

sieht sehr gut aus und ist auch schlüssig!
vielen dank

Bezug
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