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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 02.02.2008 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | | Ein Rechteck ABCD liege in einer Ebene e. P sei ein beliebiger Punkt auf der Senkrechten zu e durch A. Zeigen Sie, dass die Punkte A,B,D auf der Kugel mit dem Durchmesser [mm] \overline{PC} [/mm] liegen. |
Ich muss leider zugeben, dass ich auch hier nicht weiß, wie ich an den Beweis rangehen soll. Hab mir zwar schon mal eine Skizze gemacht, aber komm nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Sa 02.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
Hallo,
ich habe 3 Fragen zu der Aufgabenstellung:
1.) welcher Punkt soll der Mittelpunkt der Kugel sein?
2.) ist gemeint "A,B,D auf der Kugel ... liegen" oder "A,B,D in der Kugel ... liegen" ?
3.) wenn ersteres gemeint ist, ist das Rechteck ein regelmäßiges Rechteck oder ein beliebiges?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 03.02.2008 | | Autor: | trulla |
Mir ist nichts weiter als dieser Text gegeben. Der Mittelpunkt hängt doch von dem gewählten P ab, es ist doch dann auch der Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{PC}. [/mm] Und A,B,D sollen auf , nicht in der Kugel liegen, also auf der Oberfläche.
Und ich denke, es soll ein normales Rechteck sein, sprich je zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang und alle Winkel rechte Winkel.
Kann mir nun vielleicht doch noch Jemand weiterhelfen?
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Wie wäre es mit einem 2Dimensionalen ansatz in dem ich keine Kugel sonder einen Kreis habe:
der Mittelpunkt der Kugel/des Kreise ist [mm] \bruch{1}{2}\overrightarrow{CP} [/mm] das hast du schon Richtig erkannt.
In meinem ersten schritt vernachlässige ich mal eine Achse und betrachte die Punkte A und D.
Der Mittelpunkt des Kreise liegt jetzt bei [mm] \bruch{1}{2}\overrightarrow{BP}. [/mm] Der abstand von B nach M und der von A nach M ist gleich wenn ich allso einen Kreis um M zeichne mit dem Radius [mm] \bruch{1}{2}\overline{BP} [/mm] dann leigen die Punkte A, D und P auf der Kreislinie.
Im Zweiten schritt vernachlässige ich eine andere Achse so das ich A und B betrachte.
Hier gelten jetzt die gleichen bedingungen wie bei Schritt eins.
Ich hoffe dieser Denkansatz hilft dir weiter. Wenn noch Fragen bestehn kannst du sie ja Posten.
LG Daniel
Zusatz: Sowei ich das sehe ist die Kugel nur Rund wenn die Punkte A, B, D und P ein Rechteck aufsannen also die Strecken [mm] \overline{AB}, \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{AP} [/mm] gleich lang sind.
Ansonsten wird deine "Kugel" zu einem Ellipsoid was dann in der 2D ansicht Ellipsen darstellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab ich schnell in Paint gebastelt ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Du sollst ja beweisen das deine Punkte A, B und D auf der Oberfläche liegen.
Da diese drei Punkte in einer Ebene liegen kannst du dir auch Theoretisch den Punkt P = A stetzen dann liegt der Punkt M bei [mm] \bruch{1}{2}\overrightarrow{AC} [/mm] und deine Punkte A, B, und D liegen auf dem/der Kreis/Ellipse. Wenn du jetzt den Punkt P nach oben oder unter verschiebst ändert sich nur die Höhe deiner/deines Kugel/Ellipsoiden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 03.02.2008 | | Autor: | weduwe |
mit [mm] \overrightarrow{AB}=\vec{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}=\vec{b} [/mm] gilt, da der mittelpunkt der kugel M senkrecht über dem des rechtecks [mm] M_R [/mm] liegt, für den schnitt AMC mit dem pythagoras:
[mm] |\overrightarrow{AM}|=|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}|\sqrt{2}
[/mm]
und analog für den schnitt DMB:
[mm] |\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{DM}|=|\frac{\vec{a}-\vec{b}}{2}|\sqrt{2}
[/mm]
und wegen [mm] \vec{a}\perp\vec{b} [/mm] gilt [mm] |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|
[/mm]
woraus die behauptung folgt
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 So 03.02.2008 | | Autor: | weduwe |
LEIDER ZU SCHÖN, um wahr zu sein.
das ist nur ein spezialfall.
muß noch grübeln
eine einfache lösung ist diese:
wähle die punkte (durch eine geeignete koordinatentransformation) so:
D(0/0/0), A(2a/0/0), B(2a/2b/0), C(0/2b/0) und P(2a/0/2p).
dann hat der mittelpunkt der kugel die koordinaten M(a/b/p) und der radius r beträgt
[mm]r²=a²+b²+p²[/mm]
daher lautet die kugelgleichung
[mm] (\vec{x}-\vektor{a\\b\\p})=a²+b²+p²
[/mm]
und die ist offensichtlich für A, B, C und D erfüllt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 So 03.02.2008 | | Autor: | weduwe |
und das geht natürlich ganz allgemein auch:
mit [mm] \overrightarrow{AB}=2\vec{a} [/mm] , [mm] \overrightarrow{AD}=2\vec{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AP}=2\vec{p} [/mm] bekommt man
[mm] \overrightarrow{CP}=2(\vec{p}-\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{p}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{p}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{DM}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{p}
[/mm]
und wegen der orthogonalität der 3 vektoren [mm] \vec{a}, \quad{ } \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] gilt wieder:
[mm] |\overrightarrow{AM}=|\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{DM}|=\sqrt{a²+b²+p²}
[/mm]
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