Kugel < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ermitteln Sie im euklidischen Raum R3 alle Kugeln (durch Angabe von Mittelpunkt
und Radius), welche die Ebene " : z = 0 im Punkt E = [mm] (\wurzel{3},0,0)
[/mm]
ber¨uhren und zus¨atzlich die Gerade g : x = y = z ber¨uhren. |
Mir fehlt für diese Aufgabe das Verständnis.
Mir ist klar, dass der Abstand von der Gerade/Kugel und Ebene/Kugel hierbei eine Rolle spielen.
Und der Berührpunkt E, der steht mir auch zur Verfügung.
Wer kann helfen.
Mir ist völlig unklar, wie ich Mittelpunkt und Radius ermitteln kann (Abstand kann ich bestimmen). Auch ist mir nicht klar, welche Abstände ich bestimmen muss.
Vorstellung fehlt komplett!
DANKE.
|
|
| |
|
Hallo,
geh mal Schritt für Schritt ran: du hast eine Kugel, die eine Ebene berührt, du weißt sogar an welchem Punkt genau. Wie sehen die Anordnungsmöglichkeiten aus?
Nun kommt die Gerade hinzu. Die berührt die Kugel ebenfalls. Wieviele Möglichkeiten bleiben da?
Nun kannst in jedem Schritt die Kugel über den Mittelpunkt definieren.
lg
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> geh mal Schritt für Schritt ran: du hast eine Kugel, die
> eine Ebene berührt, du weißt sogar an welchem Punkt
> genau. Wie sehen die Anordnungsmöglichkeiten aus?
Ich verstehe nicht, was du mit Anordnungsmöglichkeiten meinst:-(
>
> Nun kommt die Gerade hinzu. Die berührt die Kugel
> ebenfalls. Wieviele Möglichkeiten bleiben da?
Leider verstehe ich das auch nicht!
>
> Nun kannst in jedem Schritt die Kugel über den Mittelpunkt
> definieren.
DANKE!
>
> lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
mach das Gedankenexperiment, was ich in der anderen Antwort geschrieben habe und du wirst die Möglichkeiten sehen.
Viel Erfolg,
Roland.
|
|
|
| |
|
Hallo Pippilotta,
kannst Du auch den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen? Dann hättest Du es nicht schwer:
Der Mittelpunkt liegt ja bei [mm] (\wurzel{3},0,a) [/mm] mit [mm] a\in\IR.
[/mm]
Er muss nun von der Ursprungsgeraden mit dem (nicht normierten) Richtungsvektor (1,1,1) genau den Abstand a haben.
Mit diesem Ansatz bekommst Du alle gesuchten Kugeln.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Pippilotta,
>
> kannst Du auch den Abstand eines Punktes von einer Geraden
> bestimmen? Dann hättest Du es nicht schwer:
Abstand von Punkt und Gerade kann ich auch bestimmen.
>
> Der Mittelpunkt liegt ja bei [mm](\wurzel{3},0,a)[/mm] mit [mm]a\in\IR.[/mm]
> Wieso a? Das verstehe ich nicht.
> Er muss nun von der Ursprungsgeraden mit dem (nicht
> normierten) Richtungsvektor (1,1,1) genau den Abstand a
> haben.
> Wieso? Muss ich den Vektor normieren? Wieso Abstand a?
> Mit diesem Ansatz bekommst Du alle gesuchten Kugeln.
Wieviele Kugeln gibt es? Woher weiß ich das?
>
> lg
> reverend
|
|
|
| |
|
Hallo Pippilotta,
> >
> > kannst Du auch den Abstand eines Punktes von einer Geraden
> > bestimmen? Dann hättest Du es nicht schwer:
> Abstand von Punkt und Gerade kann ich auch bestimmen.
> >
> > Der Mittelpunkt liegt ja bei [mm](\wurzel{3},0,a)[/mm] mit [mm]a\in\IR.[/mm]
> > Wieso a? Das verstehe ich nicht.
Der Berührungspunkt soll der Punkt [mm] (\wurzel{3},0,0) [/mm] sein. Da der Mittelpunkt der Kugel gesucht ist und die Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt und Berührungspunkt senkrecht auf der Ebene liegt, stehen x- und y-Koordinate schon fest, aber in z-Richtung kann der Mittelpunkt "wandern", weil man ja den Radius der Kugel entsprechend anpassen kann, damit es den gesuchten Berührungspunkt gibt. a entspricht praktisch dem Radius der Kugel.
> > Er muss nun von der Ursprungsgeraden mit dem (nicht
> > normierten) Richtungsvektor (1,1,1) genau den Abstand a
> > haben.
> > Wieso? Muss ich den Vektor normieren? Wieso Abstand a?
Der Abstand a ist hier wieder wichtig, da er auch hier den Radius der Kugel angibt. Ich denke nicht, dass du den Vektor normieren musst. Sinnvoll ist vielleicht noch die Erkenntnis, dass dieser Richtungsvektor auch senkrecht zu der Gerade durch den Mittelpunkt und seinem Berührungspunkt mit der Kugel steht.
> > Mit diesem Ansatz bekommst Du alle gesuchten Kugeln.
> Wieviele Kugeln gibt es? Woher weiß ich das?
Stell dir einfach mal eine Kugel vor, die in einer Ecke deines Zimmers liegt. Genau in die Raummitte der Ecke hältst du noch einen Stift (der simuliert die Gerade). Es geht nun darum, die Kugel so zu legen, dass sie auf einer Kante (und dort an einer bestimmten Stelle) liegt (ja, das wird schwierig, da die Wand im Weg ist - nimm also nur eine halbe Kugel) und den Stift berührt. Nun stelle dir eine größere (oder kleinere) Kugel vor. Es wird so nicht viele Lösungen geben. Was ist aber, wenn du anstelle einer Fußbodenecke eine Deckenecke nimmst?
Viel Erfolg,
Roland.
|
|
|
| |
|
Hallo Viktualia Rollgardina,
> Abstand von Punkt und Gerade kann ich auch bestimmen.
Na, dann kanns doch jetzt losgehen.
> > Der Mittelpunkt liegt ja bei [mm](\wurzel{3},0,a)[/mm] mit [mm]a\in\IR.[/mm]
> > Wieso a? Das verstehe ich nicht.
Verstehst du denn, dass der Mittelpunkt auf der so definierten Geraden liegen muss? Die Kugel soll ja im gegebenen Punkt die Ebene z=0 berühren, so dass ihr Mittelpunkt nur senkrecht darüber (oder darunter) liegen kann. Da die Ebene praktischerweise [mm] z=\blue{0} [/mm] ist, nehmen wir also erst einmal einen beliebigen Mittelpunkt in der Entfernung [mm] a\in\IR [/mm] an. Die betreffende Kugel hat dann den Radius (um genau zu sein) r=|a|. a ist also als Variable gesetzt. Irgendwo muss der Mittelpunkt ja liegen, wenn die dazugehörige Kugel denn existiert.
> > Er muss nun von der Ursprungsgeraden mit dem (nicht
> > normierten) Richtungsvektor (1,1,1) genau den Abstand a
> > haben.
> > Wieso? Muss ich den Vektor normieren? Wieso Abstand a?
Du musst nicht unbedingt normieren, je nachdem in welcher Weise Du den Abstand von Punkt und Gerade bestimmst. Manche Verfahren setzen aber Normierung voraus, deswegen habe ich darauf hingewiesen, dass "mein" Vektor nicht normiert ist.
Auch hier muss der Abstand natürlich genaugenommen |a| betragen. Die Gerade soll die Kugel ja nur berühren, also eine Tangente an die Kugel sein. Der Berührpunkt liegt also auf der Kugeloberfläche und hat vom Mittelpunkt den Abstand |a|.
> > Mit diesem Ansatz bekommst Du alle gesuchten Kugeln.
> Wieviele Kugeln gibt es? Woher weiß ich das?
Das bekommst Du durch die Rechnung doch heraus, selbst wenn Du es Dir nicht räumlich vorstellen kannst. Wenn Du Dir aber ein geistiges Bild davon machen kannst (und Rolands Beschreibung ist dafür sehr hilfreich!), dann wirst Du feststellen, dass es zwei solche Kugeln gibt, eine mit positivem und eine mit negativem a, aber mit [mm] |a_1|\not=|a_2|. [/mm] Ansonsten wird Deine Rechnung das zeigen.
Falls Du sie je beginnen willst.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
Erstmals vielen Dank für die hilfreichen Tipps und Hinweise. Ich habe jetzt den Fall nachgestellt (Ecke, Zimmer,....).Jetzt ist mir so einiges klar geworden. Das mit dem a habe ich auch verstanden (ist ja mein bel. z).
Wenn ich den Abstand d(M,E) berechne, dann erhalte ich genau mein a bzw. Betrag von a!
Jetzt brauche ich also noch einen Punkt M auf Gerade (Lotfußpunkt). Den weiß ich allerdings auch nicht, also z.B. (r,r,r). Dann kann ich somit den Verbindungsvektor von (r,r,r) und M berechnen. Liege ich soweit richtig?
DANKE
|
|
|
| |
|
Hallo Ephraimstochter,
> Erstmals vielen Dank für die hilfreichen Tipps und
> Hinweise. Ich habe jetzt den Fall nachgestellt (Ecke,
> Zimmer,....).Jetzt ist mir so einiges klar geworden. Das
> mit dem a habe ich auch verstanden (ist ja mein bel. z).
Ja, so ist das mit Variablen: man darf sie selbst benennen, wenn das sonst noch niemand getan hat. 
> Wenn ich den Abstand d(M,E) berechne, dann erhalte ich
> genau mein a bzw. Betrag von a!
Jaha.
> Jetzt brauche ich also noch einen Punkt M auf Gerade
> (Lotfußpunkt). Den weiß ich allerdings auch nicht, also
> z.B. (r,r,r). Dann kann ich somit den Verbindungsvektor von
> (r,r,r) und M berechnen. Liege ich soweit richtig?
> DANKE
Ja, das kannst Du. Hier finde ich allerdings den Namen r nicht so geschickt gewählt, da in der Aufgabe ja auch eine Kugel vorkommt. Aber solange Du selbst durchsteigst, wer hier wie heißt, ist es letztlich auch egal.
Der Verbindungsvektor zwischen M und Lotfußpunkt (hat der schon einen Namen?) steht natürlich senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden.
lg
reverend
|
|
|
|
