Kugel Gerade Schnittpunkte < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kugel K: [mm] \left( \vec x-\begin{pmatrix}-4\\3\\1\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 324
Gerade: [mm] \vec x=\pmat{ 5 \\ 4 \\ -4 }+t*\pmat{ -7 \\ 9 \\ -3 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von g und K. |
Hey Leute,
ich habe die Geradengleichung in den x-Vektor der Kugel eingesetzt und zusammengefasst.
[mm] \left(\begin{pmatrix}-7t+9\\9t+1\\-3t-5\end{pmatrix} \right)^2 [/mm] = 324
Nun, hab ich das Skalarprodukt berechnet
[mm] (-7t+9)^2+(9t+1)^2+(-3t-5)^2-324=0
[/mm]
[mm] 139t^2-78t-217=0
[/mm]
[mm] t^2-\bruch{78}{139}-\bruch{217}{139}=0
[/mm]
[mm] t_{1}= \bruch{217}{139}
[/mm]
[mm] t_{2}= [/mm] -1
Kann das soweit stimmen? Dann wäre ein Schnittpunkt aufjedenfall bei [mm] \pmat{ 12\\-5\\-1 } [/mm] für [mm] t_{2}
[/mm]
Viele Grüße, Daniel
[EDIT] sry für die Schlamperei ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Dein Ansatz ist sehr gut. Aber wie kommst Du plötzlich auf den Wert / Term mit $-324_$ ? Da gehört ein schlichtes $-9_$ hin.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Habe Aufgabenstellung berichtigt! Siehe Frage bitte unten.....!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Sa 01.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Kugel K: [mm]\left( \vec x-\begin{pmatrix}-4\\3\\1\end{pmatrix} \right)^2[/mm]
> = 9
>
> Gerade: [mm]\vec x=\pmat{ 5 \\ 4 \\ -4 }+t*\pmat{ -7 \\ 9 \\ -3 }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von g und K.
> Hey Leute,
>
> ich habe die Geradengleichung in den x-Vektor der Kugel
> eingesetzt und zusammengefasst.
>
> [mm]\left(\begin{pmatrix}-7t+9\\9t+1\\-3t-5\end{pmatrix} \right)^2[/mm]
> = 9
>
> Nun, hab ich das Skalarprodukt berechnet
>
> [mm](-7t+9)^2+(9t+1)^2+(-3t-5)^2-324=0[/mm]
Hallo,
wo zauberst du die 324 her?
Wenn deine Lösung stimme würde, müsstest du die erhaltenen Schnitpunkte in die Kugelgleichung einsetzen können.
Viele Grüße
Abakus
>
> [mm]139t^2-78t-217=0[/mm]
>
> [mm]t^2-\bruch{78}{139}-\bruch{217}{139}=0[/mm]
>
> [mm]t_{1}= \bruch{217}{139}[/mm]
> [mm]t_{2}=[/mm] -1
>
> Kann das soweit stimmen? Dann wäre ein Schnittpunkt
> aufjedenfall bei [mm]\pmat{ 12\\-5\\-1 }[/mm] für [mm]t_{2}[/mm]
>
> Viele Grüße, Daniel
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ja, mein Studienziel...an einer Fakulta für Zauberei und Fanatsie....
hmm...*scherz*^^
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Hey Leute,
sooo ich bin jetzt auf die Idee gekommen, die Schnittpunkte in die Kreisgleichung einzusetzen ...
Für [mm] t_{1}=-1 [/mm] kommt ja der Punkt [mm] x_{s1}=\pmat{ 12 \\ -5 \\ -1 } [/mm] raus
in die Kreisgleichung eingegesetzt kommt 324 = 324 !!..Das hat mich gefreut..
aber jetzt kommt der Hammer...
[mm] t_{2}=\bruch{217}{139} [/mm] kommt der Punkt [mm] x_{s2}=\pmat{ -\bruch{824}{139} \\ \bruch{2509}{139} \\ -\bruch{1207}{139} } [/mm] raus.
So den setzte ich nun auch in die Kreisgleichung ein, aber es kommt 436,35
raus...wie kann das sein??
Entweder hab ich mich verrechnet so dass nur eine Lösung in der PQ-Formel hätte rauskommen müssen, oder es kommen immer 2 ergebnisse die man dann erst überprüfen muss??
Is meine Gerade, denn jetzt nur eine Tangente an dem Kreis??
Ich komm da einfach nicht hinter, könnt ihr mir evt nen Tip geben?
Grüße,Daniel
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Hallo Blaub33r3,
> Hey Leute,
> sooo ich bin jetzt auf die Idee gekommen einfach mal die
> Schnittpunkte einzusetzen in die Kreisgleichung...
Ok.
>
> closed plz!!^^ *g*
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 01.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hey Leute,
> sooo ich bin jetzt auf die Idee gekommen, die Schnittpunkte
> in die Kreisgleichung einzusetzen ...
>
> Für [mm]t_{1}=-1[/mm] kommt ja der Punkt [mm]x_{s1}=\pmat{ 12 \\ -5 \\ -1 }[/mm]
> raus
> in die Kreisgleichung eingegesetzt kommt 324 = 324 !!..Das
> hat mich gefreut..
> aber jetzt kommt der Hammer...
>
> [mm]t_{2}=\bruch{217}{139}[/mm] kommt der Punkt [mm]x_{s2}=\pmat{ -\bruch{824}{139} \\ \bruch{2509}{139} \\ -\bruch{1207}{139} }[/mm]
> raus.
> So den setzte ich nun auch in die Kreisgleichung ein, aber
> es kommt 436,35
> raus...wie kann das sein??
> Entweder hab ich mich verrechnet so dass nur eine Lösung
> in der PQ-Formel hätte rauskommen müssen, oder es kommen
> immer 2 ergebnisse die man dann erst überprüfen muss??
>
> Is meine Gerade, denn jetzt nur eine Tangente an dem
> Kreis??
> Ich komm da einfach nicht hinter, könnt ihr mir evt nen
> Tip geben?
Wenn es eine Tangente wäre, müsste sie senkrecht auf g stehen (Skalarprodukt Null !). Wenn nicht, MUSS es zwei Schnittpunkte geben (und du hättest einen Fehler in der p-q-Formel).
Viele Grüße
Abakus
>
> Grüße,Daniel
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Ja, tut mir leid aber ich finde meinen Fehler einfach nicht!...
Ich bin ein blind Fisch anscheinend....
[mm] t^2-\bruch{78}{139}t-\bruch{217}{139}=0
[/mm]
[mm] t_{1,2}=\bruch{39}{139} \pm \wurzel{(\bruch{39}{139})^2+\bruch{217}{139}}
[/mm]
t1= -1
t2= [mm] \bruch{217}{139}
[/mm]
???? Was soll daran falsch sein?????
hilfeeeee bittttee
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Hallo Blaub33r3,
> Ja, tut mir leid aber ich finde meinen Fehler einfach
> nicht!...
> Ich bin ein blind Fisch anscheinend....
>
> [mm]t^2-\bruch{78}{139}t-\bruch{217}{139}=0[/mm]
>
> [mm]t_{1,2}=\bruch{39}{139} \pm \wurzel{(\bruch{39}{139})^2+\bruch{217}{139}}[/mm]
>
> t1= -1
> t2= [mm]\bruch{217}{139}[/mm]
>
> ???? Was soll daran falsch sein?????
Die Lösungen sind korrekt:
[mm]t_{1,2}=\bruch{39}{139} \pm \wurzel{(\bruch{39}{139})^2+\bruch{217}{139}}=\bruch{39}{139} \pm \wurzel{\bruch{39*39+217*239}{139^{2}}}=\bruch{39}{139} \pm \wurzel{\bruch{31768}{139^{2}}}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{139}\left(39 \pm \wurzel{31768}\right)=\bruch{1}{139}\left(39 \pm 178\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow t_{1}=\bruch{1}{139}\left(39 - 178\right)=-1[/mm]
[mm]t_{2}=\bruch{1}{139}\left(39 + 178\right)=\bruch{217}{239}[/mm]
>
> hilfeeeee bittttee
Gruß
MathePower
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$ [mm] t_{2}=\bruch{1}{139}\left(39 + 178\right)=\bruch{217}{239} [/mm] $
das is leider falsch, MathePower...
[mm] t_{2}=\bruch{1}{139}\left(39 + 178\right)=\bruch{217}{139}
[/mm]
......ich bin verzweifelt, dann müsste ja meine pq formel falsch sein...aber die hab ich auch schon 3 mal nachgerechnet -.-
was ein XXXXXX.......
grüße
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Hallo,
Du hast Dich schlicht und ergreifend beim Einsetzen des Punktes in die Kreisgleichung verrechnet.
Gruß v. Angela
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