Kugel mit einbeschr. Kegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Raeumer |
Moin Leute,
es wäre klasse, wenn mir jemand bei folgender Aufgabe, auf die Sprünge hefen könnte:
"Bestimme den Grundkreisradius r, die Höhenlänge h und das Volumen V desjenigen geraden Kreiskegels, der
einer Kugel mit dem Radius R (R = 9 cm) einbeschrieben ist und maximales Volumen hat."
Ich habe als Hauptbedingung: V= 1/3*pi*r²*h, soll maximal werden
Und als Nebenbedingung?
Ich hatte überlegt, ob ich das Volumen der Kugel ausrechnen soll. Das wären 973*pi cm³
Damit ergäbe sich: 4/3*pi*r³=972*pi
Ist das richtig?
Das Problem bei der Zielfunktion ist nun, dass ich, wenn ich die Nebenbedingung nach r² auflöse, also r²= (972*pi*3)/(4r*pi), und für das Volumen des Kreiskegels einsetze, weiterhin r und h in der Formel habe.
Bei mir sah das am Ende so aus: V(h)= 1/3*((972*pi*3)/(4r
pi))*pi*h.
Aber das macht ja irgendwie keinen Sinn. Ich habe das zu 27*pi*h zusammengekürzt, womit ich aber ja keine Extremwerte heraus bekomme.
Wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet...!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 21.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Moin Leute,
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> es wäre klasse, wenn mir jemand bei folgender Aufgabe, auf
> die Sprünge hefen könnte:
>
> "Bestimme den Grundkreisradius r, die Höhenlänge h und das
> Volumen V desjenigen geraden Kreiskegels, der
> einer Kugel mit dem Radius R (R = 9 cm) einbeschrieben ist
> und maximales Volumen hat."
Hallo,
r und h hängen nach dem Satz des Pythagoras auf folgende Weise voneinander ab:
[mm] r^2=9^2-(h-9)^2 [/mm] (vergleiche Skizze). Das ist deine Nebenbedingung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Abakus
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> Ich habe als Hauptbedingung: V= 1/3*pi*r²*h, soll maximal
> werden
>
> Und als Nebenbedingung?
>
>
> Ich hatte überlegt, ob ich das Volumen der Kugel ausrechnen
> soll. Das wären 973*pi cm³
>
> Damit ergäbe sich: 4/3*pi*r³=972*pi
>
> Ist das richtig?
>
>
> Das Problem bei der Zielfunktion ist nun, dass ich, wenn
> ich die Nebenbedingung nach r² auflöse, also r²=
> (972*pi*3)/(4r*pi), und für das Volumen des Kreiskegels
> einsetze, weiterhin r und h in der Formel habe.
>
> Bei mir sah das am Ende so aus: V(h)= 1/3*((972*pi*3)/(4r
> pi))*pi*h.
>
> Aber das macht ja irgendwie keinen Sinn. Ich habe das zu
> 27*pi*h zusammengekürzt, womit ich aber ja keine
> Extremwerte heraus bekomme.
>
>
> Wäre klasse, wenn ihr mir helfen könntet...!
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Raeumer |
Dankeschön, Abakus, für diese schnelle Antwort.
Nachdem ich mir fünf Minuten die Skizze angeguckt habe, leuchtet sie mir ein, glaube ich.
Du Musterlösung für die Aufgabe sieht als Nebenbedingung: "r²=h*(2R-h) vor. Weißt du, wie man darauf kommt?
Ich habe da keine Idee. Aber, da dein Zusammenhang, den ich ja nachvollziehen kann, auch richtig ist, ist mehr der auch lieber.
Nun aber noch eine peinliche Frage: Wenn ich jetzt die Zielfunktion formuliere, kriege ich ja V=1/3*pi*(9²-(h-9)²)*h heraus.
Womit muss ich jetzt die Klammer mal nehmen? Und soll ich (h-9)² ausrechnen?
So, wie es da jetzt steht, komme ich nicht an die Ableitung heran.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Andi |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Raeumer |
Mensch Andi, das ist ja klasse, wie schnell und ausführlich du hilfst. Vielen Dank...!
> Hmm .... ich versteh noch nicht so richtig dein Problem...
> Kannst du die Klammer nicht auflösen?
>
> Also ich würde mal Vorschlagen du beweist Mut zur Lücke
> und probierst mal ganz wild darauf los und ich schau mir an
> ob du richtig gerechnet hast.
[mm] V=\bruch{1}{3}*\pi(9²-(h-9)²)*h
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{3}*\pi(81-h²-18h+81)*h
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{3}*\pi(-h²-18h+162)*h
[/mm]
Soll ich jetzt jedes Glied der Klammer mit bspw. h malnehmen?
Das kann es doch irgendwie nicht sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Do 22.05.2008 | | Autor: | Andi |
> [mm]V=\bruch{1}{3}*\pi(-h²-18h+162)*h[/mm]
> [mm]V=\bruch{1}{3}*\pi(-h³-18h²+162h)[/mm]
>
> ok?
Das ausmultiplizieren hast du richtig gemacht,
nur ist die Grundgleichung flasch.
Wir hatten uns doch auf [mm] V=\bruch{1}{3}*\pi(81-h²+18h-81)*h
[/mm]
geeinigt, oder? 
Wir kommen insgesamt auf: [mm] V=-\bruch{1}{3}*\pi*h^3+6\pi*h^2
[/mm]
Gehe nochmal die komplette Rechnung durch ....
ob alles klar ist und du auch auf des selbe Ergebnis kommst.
Viele Grüße,
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Do 22.05.2008 | | Autor: | Andi |
> Ist [mm]V'=-\pi*h^2+12\pi*h[/mm] ?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Do 22.05.2008 | | Autor: | Raeumer |
Dann kommt für
V'=O
[mm] 12\pih=\pi [/mm] h²
[mm] 12\pi=\pi [/mm] h
h=12
raus. Und das ist laut Lösung auch das richtige Ergebnis
Tausend Dank, Andi! Du warst eine große Hilfe und ich hab Einiges gelernt...!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Do 22.05.2008 | | Autor: | Raeumer |
Ich kam mit dem Schreibsystem nicht ganz klar. So muss es natürlich aussehen:
12 [mm] \pi [/mm] h = [mm] \pi [/mm] h²
12 [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi [/mm] h
h=12
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Do 22.05.2008 | | Autor: | Andi |
> Dann kommt für
>
> V'=O
> [mm]12\pi*h=\pi*h^2[/mm]
> [mm]12\pi=\pi*h[/mm]
> h=12
>
> raus. Und das ist laut Lösung auch das richtige Ergebnis
>
Ich will nur noch ein paar kleine Anmerkungen machen:
du solltest in Zukunft so vorgehen:
[mm] V'=0 [/mm] [mm] \gdw [/mm] [mm] 0=-\pi*h^2+12\pi*h[/mm]
Das heißt du musst hier eine quadratische Gleichung lösen,
diese kannst du sehr leicht durch faktorisieren vereinfachen:
[mm] 0=-\pi*h^2+12\pi*h[/mm]
[mm]0=h*\pi*(-h+12)[/mm]
Und diese Gleichung kann nur Null werden, wenn einer der
Faktoren Null wird. Also [mm] h_1=0 [/mm] und [mm] h_2=12 [/mm]
das heißt du hast 2 mögliche Extrema
nun brauchst du noch die 2. Ableitung um zu entscheiden,
ob es Extrema sind, und welcher Art sie sind.
Also [mm] V''=-2\pi*h+12
[/mm]
V''(0)=12>0 also ist es ein Tiefpunkt
[mm] V''(12)=-2\pi*12+12<0 [/mm] also ist es ein Hochpunkt
Erst jetzt weißt du das für h=12 das Volumen wirklich maximal wird.
> Tausend Dank, Andi! Du warst eine große Hilfe und ich hab
> Einiges gelernt...!
Kein Problem ... ich helfe gerne.
Viele Grüße,
Andi
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![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge"){kind=small}
[Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)] sorry ich kann gerade kein Bild hochladen
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
hier hast du dich mit dem Minus vertan
Distributivgesetz