Kugelaufgabe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 12.03.2005 | | Autor: | ziska |
Hallo, ich schon wieder....
Die Augabe:
Geg.: E: x+y+z=4
K: [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 3 \\ 5}]^2 [/mm] = 36
1. Gesucht ist eine Gleichung der Tangentialebene [mm] t_1 [/mm] , die die Kugel in [mm] P_1(1/-1/3) [/mm] berührt.
Meine Lösung: [mm] \vec{n}= \vec{x_M} [/mm] - [mm] \vec{x_P1} =\vektor{4 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
[mm] T_1: \vec{x} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
= 6
stimmt das?
2. Die zu [mm] t_1 [/mm] parallelen Ebenen, die die Kugel K schneiden, bilden eine Ebenenschar E(k). Ermittle die zulässigen Werte für k aus R und bestimme eine Gleichung der Schar!
Mein Ansatz:
Bedingungen für E(k): 1. parallen zu [mm] T_1 [/mm] => gleicher Normalenvektor verwendbar!
2. Abstand Ebene/Mittelpunkt muss <r sein!
Für E(k) hab ich geschrieben: [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 2} [/mm] = k
Dann habe ich g(M, [mm] \vec{n}) [/mm] mit dieser Ebenen geschnitten und erhilet dann für [mm] z=\bruch{k-42}{36}
[/mm]
Kann das stimmen? Ich find mein Fehler nicht.
Anschließend wollte ich den Abstand berechnen, also d(P;M) <r, aber das bekomme ich nicht hin.
Aber wie soll man sonst diese aufgabe angehen?
LG,
ziska
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Hi, ziska,
> Geg.: E: x+y+z=4
> K: [ [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{5 \\ 3 \\ 5}]^2[/mm] = 36
>
> 1. Gesucht ist eine Gleichung der Tangentialebene [mm]t_1[/mm] , die
> die Kugel in [mm]P_1(1/-1/3)[/mm] berührt.
>
> Meine Lösung: [mm]\vec{n}= \vec{x_M}[/mm] - [mm]\vec{x_P1} =\vektor{4 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
Sehr dafür!
>
> [mm]T_1: \vec{x}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 3}[/mm]
> * [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
>
> = 6
> stimmt das?
Ja!
Würd' allerdings lieber 4x + 4y + 2z - 6 = 0 bzw. 2x + 2y + z - 3 = 0
dafür schreiben, aber: was soll's!
>
> 2. Die zu [mm]t_1[/mm] parallelen Ebenen, die die Kugel K schneiden,
> bilden eine Ebenenschar E(k). Ermittle die zulässigen Werte
> für k aus R und bestimme eine Gleichung der Schar!
>
> Mein Ansatz:
> Bedingungen für E(k): 1. parallen zu [mm]T_1[/mm] => gleicher
> Normalenvektor verwendbar!
> 2. Abstand Ebene/Mittelpunkt muss <r sein!
>
> Für E(k) hab ich geschrieben: [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 2}[/mm]
> = k
> Dann habe ich g(M, [mm]\vec{n})[/mm] mit dieser Ebenen geschnitten
> und erhilet dann für [mm]z=\bruch{k-42}{36}
[/mm]
> Kann das stimmen? Ich find mein Fehler nicht.
>
Also: Du kennst die Lösung und weißt, dass Deine falsch ist?
Nun: Ich hätte erst mal die "andere" Berührebene gesucht, also die, bei der der Aufpunkt der Spiegelpunkt von P bezüglich des Kugelmittelpunkts ist. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist dies Q(9/7/7).
Die anderen Ebenen liegen dann "dazwischen".
Für die zweite "Randebene" krieg' ich:
2x + 2y + z -39 = 0
Würde bedeuten:
die gesuchten Ebenen haben die Gleichung:
2x + 2y + z - k* = 0
wobei 3 < k* < 39
Wenn aber nun die ursprünglich gewählte Ebene [mm] t_{1} [/mm] heißt, dann soll also hier k=1 sein.
Dann formen wir die oben berechnete Ebene halt nochmal um zu:
[mm] \bruch{2}{3}x+\bruch{2}{3}y+\bruch{1}{3}z-1=0
[/mm]
wobei man die gesuchten Ebenen mit
[mm] \bruch{2}{3}x+\bruch{2}{3}y+\bruch{1}{3}z-k=0
[/mm]
und 1 < k < 13 erhält.
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