Kugeloberfläche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 19.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei [mm] \vec{B}(x,y,z):=\vektor{z \\ x\\y} [/mm] und sei S die Oberfläche der Halbkugel [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z\ge1
[/mm]
a) Bestimme [mm] \integral_{S}{d\vec{A}*\nabla\times\vec{B}}
[/mm]
Antwort: [mm] \pi
[/mm]
b) Bestimme [mm] \integral_{\partial S}{d\vec{r}*\vec{B}} [/mm] und verifiziere die Gültigkeit des Stokesschen Satzes. |
Heyho
irgendwie bin ich zu blöd dazu, denn ich krieg da einfach nicht das richtige raus -_-
Also: [mm] \nabla\times\vec{B} [/mm] ist ja [mm] \vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Der Normalenvektor zur Oberfläche sollte in Kugelkoordinaten sein: [mm] \vektor{sin(\theta)*cos(\phi)\\sin(\theta)*sin(\phi)\\cos(\theta)} [/mm] und das Flächenelement [mm] dA=r^{2}*d\phi*d\theta [/mm] und r ist ja 1
Damit komm ich dann aber auf:
[mm] \integral_{S}{d\vec{A}*\nabla\times\vec{B}}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{d\theta\integral_{0}^{2*\pi}{d\phi*[sin(\theta)*cos(\phi)+sin(\theta)*sin(\phi)+cos(\theta)]}}=2*\pi\not=\pi
[/mm]
Was ist also falsch? Wahrscheinlich alles -_-
Ich hab das mit diesen komischen Integralen einfach noch nicht verstanden und werde es wohl auch nie...
b)
Nach dem Stokesschen Satz gilt:
[mm] \integral_{S}{d\vec{A}*\nabla\times\vec{B}}=\integral_{\partial S}{d\vec{r}*\vec{B}} [/mm]
Das heißt da sollte auch [mm] \pi [/mm] rauskommen...
Aber auch hierbei komm ich auf wat anderes -_-
Also der Rand von S ist ja der Einheitskreis in der Ebene z=0
Ich bin irgendwie darauf gekommen, dass das dann
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{d\phi*sin(\phi)*cos(\phi)}=0 [/mm] sein müsste...
Aber das ist ja wohl auch falsch...
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Hallo icarus89,
> Sei [mm]\vec{B}(x,y,z):=\vektor{z \\ x\\y}[/mm] und sei S die
> Oberfläche der Halbkugel [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z\ge1[/mm]
>
> a) Bestimme [mm]\integral_{S}{d\vec{A}*\nabla\times\vec{B}}[/mm]
> Antwort: [mm]\pi[/mm]
> b) Bestimme [mm]\integral_{\partial S}{d\vec{r}*\vec{B}}[/mm] und
> verifiziere die Gültigkeit des Stokesschen Satzes.
> Heyho
>
> irgendwie bin ich zu blöd dazu, denn ich krieg da einfach
> nicht das richtige raus -_-
>
> Also: [mm]\nabla\times\vec{B}[/mm] ist ja [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm]
> Der Normalenvektor zur Oberfläche sollte in
> Kugelkoordinaten sein:
> [mm]\vektor{sin(\theta)*cos(\phi)\\sin(\theta)*sin(\phi)\\cos(\theta)}[/mm]
> und das Flächenelement [mm]dA=r^{2}*d\phi*d\theta[/mm] und r ist ja
> 1
>
> Damit komm ich dann aber auf:
>
> [mm]\integral_{S}{d\vec{A}*\nabla\times\vec{B}}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{d\theta\integral_{0}^{2*\pi}{d\phi*[sin(\theta)*cos(\phi)+sin(\theta)*sin(\phi)+cos(\theta)]}}=2*\pi\not=\pi[/mm]
>
> Was ist also falsch? Wahrscheinlich alles -_-
Hier hast Du vergessen über den Boden zu integrieren.
Zur Oberfläche der Halbkugel gehört auch der Grundkreis.
> Ich hab das mit diesen komischen Integralen einfach noch
> nicht verstanden und werde es wohl auch nie...
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 19.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
> Hallo icarus89,
>
>
>
> Hier hast Du vergessen über den Boden zu integrieren.
>
> Zur Oberfläche der Halbkugel gehört auch der Grundkreis.
>
>
Sicher? Wortwörtlich wird S als Kugeloberfläche der Halbkugel bezeichnet. Ich hätte gedacht, damit wäre nur dieses schüsselartige Teil gemeint. Außerdem komm ich auch nicht auf das richtige Ergebnis, wenn ich den Kreis noch dazu nehme: [mm] \bruch{8*\pi}{3}
[/mm]
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Hallo icarus89,
> > Hallo icarus89,
> >
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> >
> >
> > Hier hast Du vergessen über den Boden zu integrieren.
> >
> > Zur Oberfläche der Halbkugel gehört auch der Grundkreis.
> >
> >
> Sicher? Wortwörtlich wird S als Kugeloberfläche der
> Halbkugel bezeichnet. Ich hätte gedacht, damit wäre nur
> dieses schüsselartige Teil gemeint. Außerdem komm ich
> auch nicht auf das richtige Ergebnis, wenn ich den Kreis
> noch dazu nehme: [mm]\bruch{8*\pi}{3}[/mm]
>
Rechne das mal vor.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Sagtmal ist nicht das Flächenelement falsch?
Da fehlt noch der Sinus!!!
dA = [mm] r^{2}*sin*d(phi)*d(teta)
[/mm]
Und noch was: Die Rotation über ne geschlossene Fläche ist doch null. Bin was verunsichert weil MathePower geschrieben hat es fehle noch die Grundfläche und dann gebe es schon [mm] \pi...
[/mm]
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 21.06.2010 | | Autor: | Unk |
So wie ich das sehe wirds leichter, wenn man hier Polarkoordinaten verwendet und [mm] z=\sqrt{1-r^2} [/mm] setzt.
Dann muss man zwar ein etwas hässlicheres Integral lösen, aber es kommt am Ende auch tatsächlich [mm] \pi [/mm] raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 So 20.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
also z = 0. Den Kreis parametrisieren: x = cos(t), y = sin(t) mit t [0,2*pi]
y(t) = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 0} [/mm]
davon y'(t) ausrechnen und das dann à la Skalarprodukt multiplizieren mit
B(y(t)) = [mm] \vektor{ 0 \\ cos(t) \\ sin(t) }
[/mm]
...es ergibt sich das Integral von [mm] cos(t)^{2} [/mm] von 0 bis [mm] 2*\pi
[/mm]
Gruss
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