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Hallo zusammen,
ich versuche mich grad an der Integration der Kugeloberfläche mittels Polarkoordinaten.
Ich hab meine Funktionaldeterminante aus folgender Kotrafo:
[mm] $x=R\sin{\theta}\cos{\phi}$
[/mm]
[mm] $y=R\sin{\theta}\sin{\phi}$
[/mm]
ergibt
[mm] $\integral_{?}^{?}~\integral_{?}^{?}~\begin{vmatrix} R\cos{\theta}\cos{\phi} & -R\sin{\theta}\sin{\phi} \\ R\cos{\theta}\sin{\phi} & R\sin{\theta}cos{\phi} \end{vmatrix}~d\theta d\phi= R^2 \integral_{?}^{?}~\integral_{?}^{?}~\sin{\theta}\cos{\theta}~d\theta d\phi= R^2 \bruch{1}{2}[\sin^2{\theta}]_?^?[\phi]_?^?$
[/mm]
Wie die ? schon andeuten: wie lauten meine Grenzen? Wiki sagt, dass [mm] $0\le\theta\le\pi;~0\le\phi\le2\pi$ [/mm] für die komplette Oberfläche. Das ergibt bei mir NULL [mm] ($\not= 4\pi R^2$).
[/mm]
Möchte ich die halbe Oberfläche, dann wäre es doch [mm] $0\le\theta\le\bruch{\pi}{2};~0\le\phi\le2\pi$, [/mm] ergibt bei mir [mm] $R^2 \pi$ ($\not= 2\pi R^2$).
[/mm]
Was mach ich falsch?
Grüße
Slartibartfast
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Hallo!
Wenn das eine Kugel im [mm] \IR^3 [/mm] ist, mußt du doch
x=...
y=...
z=...
haben, und demnach auch ne 3x3-Matrix bekommen. Deren Determinante ist [mm] $r^2 \sin \theta \$ [/mm] . Versuchs mal damit!
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$z=R [mm] \cos{\theta}$
[/mm]
und die Fdet hab ich spaßhalber auch schon heut berechnet (mit der ich auch auf die Ergebnisse komme).
Ich war irgendwie davon überzeugt, dass ich bei einer Flächenintegration nur x und y brauch... macht natürlich keinen Sinn.
@Leopold_Gast: Sorry für die schwammige Formulierung.
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Was willst du überhaupt berechnen? "Integration der Kugeloberfläche" ist ja eine höchst schwammige Formulierung.
Irgendwie scheint es mir, du willst den Inhalt der Kugeloberfläche [mm]F[/mm] berechnen? Stimmt das? Dazu benötigtest du eine Parameterdarstellung
[mm](u,v) \mapsto \varphi(u,v) \ \ \text{mit} \ \ (u,v) \in B[/mm]
der Kugel und müßtest
[mm]F = \int_B \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right|~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
auswerten. Da könntest du natürlich mit Kugelkoordinaten arbeiten. Das macht die Sache jedoch nicht unbedingt einfacher.
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Oh doch, sie reduziert sich auf die Schwierigkeit, eine Stammfunktion für den Sinus zu finden 
Die Determinante sollte man eh im Kopf haben.
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