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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 16.12.2006 | | Autor: | KatjaNg |
| Aufgabe | a) Beschreibe die Kugelschar $ [mm] k_{a} [/mm] $ , die den Mittelpunkt [mm] M_{a} [/mm] (3a;4a;5a) (a>0) hat und durch den Koordinatenursprung verläuft.
b) wo liegen alle Scharenmittelpunkte?
c) Warum haben alle Kugelscharen eine gemeinsame tangentialebene?
d) [mm] k_{a} [/mm] und die [mm] x_{1}- x_{2} [/mm] - ebene schneiden einander in einem Kreis. Bestimme den Schnittradius in abhängigkeit von a.
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Hallo!ist
Ansich versteh ich die aufgabenstellungen, doch zu a) ist gemeint einfach die Kugelschar gleichung anzugeben?wenn ja, hab ich ein radius von 4,4a raus, laut Zeichnung,denn ich weis nich recht wie ich sonst draf komm.
Zu b) sie liegen alle auf einer geraden g lautet diese g:x= $ [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 5} [/mm] $ + [mm] t\vektor{-1,5 \\ -2\\ -2,5}. [/mm] also eine gerade aus zwei mittelpunten [mm] M_{1} [/mm] und$ [mm] M_{\bruch{1}{2}}. [/mm] $
zu c) weil die bedingung steht, dass alle durch (0;0;0 ) gehen müssen, also ist dort die tangentialebene.
zu d) hier bin ich mir nich sicher. ich müsste doch eine hilfsgerade erstellen,also eine orthogonale ebene, die den mittelpunkt des kreises und den normalenvektor der ebene hat.oder?
ich bitte um eine schnelle antwort.wünsch noch ein schönes adventwochenende.dank im voraus.MfG Katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 So 17.12.2006 | | Autor: | Fulla |
Hi Katja!
a) Ja, du sollst die Gleichung für die Kugelschar angeben. Leider ist dein berechneter Radius falsch. Fang mit der allgemeinen Gleichung an:
[mm] (x_1-M_1)^2+x_2-M_2)^2+(x_3-M_3)^2=r^2
[/mm]
Mit dem gegebenen Mittelpunkt bekommt man:
[mm] (x_1-3a)^2+(x_2-4a)^2+(x_3-5a)^2=r^2
[/mm]
Außerdem weißt du, dass der Nullpunkt auf jeder Kugel liegen soll.
[mm] (0-3a)^2+(0-4a)^2+(0-5a)^2=r^2=50a^2
[/mm]
Also: [mm] r=a*\wurzel{50}=a*5\wurzel2
[/mm]
Alternativ kannst du dir das auch so überlegen:
Der Vektor vom Nullpunkt zum Mittelpunkt [mm] M_a [/mm] ist genau der Radius (bzw. sein Betrag), denn er zeigt vom Kugelrand (Nullpunkt liegt auf der Kugel) zum Mittelpunkt. Also [mm] r=|M_a|=a*5\wurzel2
[/mm]
b) Ja, deine Gerade ist richtig! Du könntest sie auch in der Form schreiben:
[mm] g:\quad a*\vektor{3\\4\\5}
[/mm]
c) Ja, Alle Kugeln der Schar haben einen gemeinsame Tangentialebene, weil sie den Nullpunkt gemeinsam haben. Man könnte die Ebenen sogar ganz leicht ausrechnen, denn bei Kugeln gilt, dass der Radius senkrecht auf jeder Tangentialebene steht (vergleiche: Kreis <-> Tangente). Also ist der Radius der Normalenvektor der Tangentialebene, und das ist die Gerade aus b).
d) Das ist etwas kniffliger. Ich verstehe leider deinen Ansatz mit der Hilfsgeraden und der Ebene nicht - vielleicht führt der ja auch zum Ziel.
Ich hab mir das so überlegt:
Der Kreis geht auch durch den Ursprung, denn sowohl Ursprung, als auch Kreis liegen in der [mm] x_1-x_2 [/mm] Ebene (und natürlich auf der Kugeloberfläche).
Außerdem ist der Radius des Schnittkreises die Projektion des Kugelradius auf die [mm] x_1-x_2 [/mm] Ebene. Das kann man sich ganz leicht anhand einer Skizze klarmachen.
Also ist der Mittelpunkt des Kreises [mm] m_a=(3a|4a|0) [/mm] und der Radius [mm] r_a=5a.
[/mm]
Ich denke, das kann man auch wie in a) mit der Kreisgleichung machen. Das hab ich allerdings nicht ausprobiert...
So, ich hoffe, das hilft dir weiter.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 17.12.2006 | | Autor: | KatjaNg |
Hallo Fulla!
Erstmal danke für deine Hilfe. ich hätte da noch eine kleine Frage bezüglich der aufgabe d). denn ich kann deine rechnung nich nachvollziehen. Wär schön wenn du mir einen Ansatz geben könntest.
ach und zu c) ist es doch einfacher die allgemeine Tangntialebene zu nehmen also [mm] (\vec{x} [/mm] - $ [mm] \vec{m}) [/mm] $ * [mm] (\vec{b} [/mm] - $ [mm] \vec{m}) [/mm] $) = [mm] r^{2}
[/mm]
denn ich hab den Punkt (0;0;0) gegeben.
liebe Grüße, Katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katja!
Die [mm] $x_1/x_2$-Ebene [/mm] (oder auch $x/y_$-Ebene) wird beschrieben durch folgende Gleichung:
[mm] $E_{xy} [/mm] \ : \ [mm] \vektor{0\\0\\1}*\vec{x} [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $E_{xy} [/mm] \ : \ z \ = \ 0$
Setze dies in die Kugelgleichung ein und fasse zusammen. Auf der rechten Seite der Gleichung erhältst Du dann [mm] $r_{\text{Kreis}}^2$ [/mm] und damit auch [mm] $r_{\text{Kreis}}$ [/mm] :
Kugelgleichung: [mm] $K_a [/mm] \ : \ [mm] (x-3a)^2+(y-4a)^2+(z-5a)^2 [/mm] \ = \ [mm] 50a^2$
[/mm]
Einsetzen: [mm] $(x-3a)^2+(y-4a)^2+(\red{0}-5a)^2 [/mm] \ = \ [mm] 50a^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(x-3a)^2+(y-4a)^2+25a^2 [/mm] \ = \ [mm] 50a^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(x-3a)^2+(y-4a)^2 [/mm] \ = \ [mm] 25a^2$
[/mm]
Wie groß ist also [mm] $r_{\text{Kreis}}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 So 17.12.2006 | | Autor: | KatjaNg |
| Aufgabe | | es gibt zu der oben genannten Aufgaben ncoh eine weitere Aufgabe e), die darin besteht sich selbst eine aufgabenstellung auszudenken, also eine weiterführung des Aufgabe |
hilfe..ich glaub ich mach´s komplizierter als es ist, doch ich hab keinen einfall was ich machen kann, zumal es voll schwierig ist, sich selbst noch was dazu zu denken. Hab schon gedacht das mit dem Problem Kugel Gerade- Polarebene weiter zu machen..sodass solch ein kegel rauskommt. Doch wir hatten das thema noch nich und seh nich so richtig durch. Hat jemand eine Idee???? Ganz großes danke schon mal...Katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katja!
Bestimme doch z.B. die Tangentialebene an die Kugel, welche parallel zu der gemeinsamen Tangentialebene aller Kugeln durch den Ursprung verläuft, in Abhängigkeit vom Parameter $a_$ .
Gruß
Loddar
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