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Huhu,
ich kann ja, wenn ich A = [mm] \IR^3 [/mm] habe folgendermaßen transformieren:
[mm] \integral_{A}{f(x,y,z) dx dy dz} [/mm]
zu
[mm] \integral_{0}^{R} \integral_{0}^{ 2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{f(r cos(\mu) sin(\nu) , r sin(\mu) sin(\nu), r cos(\nu)) *r^2 sin(\nu) d \nu d \mu dr }
[/mm]
Was passiert nun, wenn statt A := [mm] \IR^3 [/mm] ich A := [mm] B^3 [/mm] habe, wobei mein B die EInheitskugel mit Radus R sein soll, also
[mm] B^3 [/mm] = { [mm] x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 \le R^2 [/mm] }
Das innerste Integral hätte dann die Grenzen
[mm] \integral_{- \wurzel{x_2^2 +x_3^2 - R^2}}^{\wurzel{x_2^2 +x_3^2 - R^2}}{.....}
[/mm]
Würde es hier auch mit der transformation gehen, dass ich [mm] x_2 [/mm] = r [mm] sin(\mu) sin(\nu) [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = r [mm] cos(\nu) [/mm] in den Grenzen setze?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
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> ich kann ja, wenn ich A = [mm]\IR^3[/mm] habe folgendermaßen
> transformieren:
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> [mm]\integral_{A}{f(x,y,z) dx dy dz}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]\integral_{0}^{R} \integral_{0}^{ 2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{f(r cos(\mu) sin(\nu) , r sin(\mu) sin(\nu), r cos(\nu)) *r^2 sin(\nu) d \nu d \mu dr }[/mm]
Nein. Das stimmt nicht. Wenn Du über [mm] \IR^3 [/mm] integrierst, bekommst Du
[mm]\integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{ 2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{f(r cos(\mu) sin(\nu) , r sin(\mu) sin(\nu), r cos(\nu)) *r^2 sin(\nu) d \nu d \mu dr }[/mm]
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> Was passiert nun, wenn statt A := [mm]\IR^3[/mm] ich A := [mm]B^3[/mm] habe,
> wobei mein B die EInheitskugel mit Radus R sein soll, also
> [mm]B^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 \le R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Das innerste Integral hätte dann die Grenzen
>
> [mm]\integral_{- \wurzel{x_2^2 +x_3^2 - R^2}}^{\wurzel{x_2^2 +x_3^2 - R^2}}{.....}[/mm]
>
> Würde es hier auch mit der transformation gehen, dass ich
> [mm]x_2[/mm] = r [mm]sin(\mu) sin(\nu)[/mm] und [mm]x_3[/mm] = r [mm]cos(\nu)[/mm] in den
> Grenzen setze?
Das Integral über B ist gegeben durch
[mm]\integral_{0}^{R} \integral_{0}^{ 2 \pi} \integral_{0}^{\pi}{f(r cos(\mu) sin(\nu) , r sin(\mu) sin(\nu), r cos(\nu)) *r^2 sin(\nu) d \nu d \mu dr }[/mm]
FRED
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Sry wenn ich das dann noch dazupacke, aber dann finde ich in der folgenden Rechnung mein Fehler nicht:
Sei A:= [mm] \IR^3 [/mm] und f(x,y,z) = [mm] (\wurzel{x^2+y^2+z^2})^t [/mm] , t [mm] \in \IR
[/mm]
Berechnung von [mm] \integral_{A}{f(x,y,z) dx dy dz}
[/mm]
Mit Polarkoordinaten der Kugel ergibt sich dann mittels Additionstheoremen unter der Wurzel der einfache Ausdruck
[mm] \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{ \pi} (\wurzel{ r^2 * 1 })^t [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * [mm] sin(\nu) [/mm] d [mm] \nu [/mm] d [mm] \mu [/mm] dr
= [mm] \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{ \pi} r^{t+2} [/mm] * sin [mm] (\nu) [/mm] d [mm] \nu [/mm] d [mm] \mu [/mm] dr
= 2 [mm] \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{2 \pi} r^{t+2} [/mm] d [mm] \mu [/mm] dr
= 4 [mm] \pi \integral_{0}^{\infty} r^{t+2} [/mm] dr
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4 [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{t+3} *n^{t+3}
[/mm]
Da kann vieles nicht stimmen, ich weiß lediglich nur , dass t [mm] \in \IR, [/mm] evtlist also der Bruch nicht definiert. AUsserdem in den anderen Fällen wäre das Volumen [mm] \infty [/mm] , und das kann ich mir nicht vorstellen dass das richtig ist :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 06.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du integrierst doch nur bis R=1 wenn du über die Einheitskugel integrierst.
was t evtlist heisst weis ich nicht, nur für t=-3 ist der Bruch nicht definiert.
Gruss leduart
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Hallo,
du willst über den gesamten [mm] \IR^3 [/mm] die Funktion f(x,y,z) integrieren? Dann stellt sich zunächst die Frage, ob das INtegral überhaupt konvergiert. Wenn man sich aber f(x,y,z) so anschaut, dann sieht man shcnell, dass das gewiss nicht konvergiert. Zum einen ist f>0 für alle [mm] (x,y,z)\in\IR^3 [/mm] und zum anderen ist das ganze auch unbeschränkt. Denn die Funktion f gibt dir ja exakt den Abstand vom Nullpunkt zum Punkt (x,y,z) an.
Dass das Integral also gegen [mm] \infty [/mm] geht, ist kein Wunder.
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