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| Aufgabe | Sei [mm] \var{f}: \{z: \abs{z} \le 1 \} \to \var{C} [/mm] stetig und holomorph in [mm] \{z: \abs{z} < 1 \} [/mm] und [mm] \var{a} [/mm] eine komplexe Konstante, [mm] \abs{a} \not= [/mm] 1. Berechnen Sie mittels Cauchyscher Integralformel das Integral
[mm] \var{I} [/mm] := [mm] \integral_{C}{\overline{f(x)}(z-a)^{-1} dz} [/mm]
wobei [mm] \var{C} [/mm] der mathematisch positiv orientierte Einheitskreis [mm] \{z: \abs{z} = 1 \} [/mm] sei.
Hinweis: Berechnen sie zunächst den konjugierten Wert [mm] \overline{I} [/mm] des Integrals und verwenden Sie dabei die Beziehung [mm] \overline{z}=\bruch{1}{z} [/mm] für [mm] \abs{z}=1. [/mm] |
Hi Leute, ich versuch mich grad an obiger Aufgabe.
Ich richte mich nach den Hinweisen, und mache folgendes:
[mm] \overline{I}= \overline{\integral_{C}{\overline{f(z)}(z-a)^{-1} dz}}=\integral_{C}{f(x)\overline{(z-a)^{-1}} dz}=\integral_{C} {\bruch{f(x)}{\overline{z}-\overline{a}} dz} [/mm]
Um die Cauchysche Integralformel anweden zu können, will ich substituieren mit [mm] z=\bruch{1}{\overline{z}} [/mm] , [mm] dz=-\bruch{1}{\overline{z}^2}d\overline{z} [/mm] :
[mm] \integral_{C} {\bruch{f(x)}{\overline{z}-\overline{a}} dz}=\integral_{C} {\bruch{-f(\bruch{1}{\overline{z}})\cdot \overline{z}^{-2}}{\overline{z}-\overline{a}} d\overline{z}} [/mm]
Nun die Cauchysche Integralformel anwenden:
[mm] -f(\bruch{1}{\overline{a}})\cdot \bruch{1}{\overline{a}^2}=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{C} {\bruch{-f(\bruch{1}{\overline{z}})\cdot \overline{z}^{-2}}{\overline{z}-\overline{a}} d\overline{z}} [/mm]
Also ergibt sich: [mm] \overline{I}=-2\pi \var{i}\cdot f(\bruch{1}{\overline{a}})\cdot \bruch{1}{\overline{a}^2}
[/mm]
Ist das soweit richtig, bzw. ergibt das überhaupt so nen Sinn?
Dann frag ich mich, warum steht da dieser Hinweis? Wieso kann ich nicht einfach gleich zu Anfang die Cauchysche Integralformel anwenden:
[mm] \overline{f(a)}=\bruch{1}{2\pi \var{i}}\cdot \integral_{C}{\overline{f(z)}(z-a)^{-1} dz} [/mm]
was ja zu einem anderen Ergebnis führt.
Wenn mir jemand eine der Fragen beantworten könnte, würde mich das weiterbringen. Also vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]\var{f}: \{z: \abs{z} \le 1 \} \to \var{C}[/mm] stetig und
> holomorph in [mm]\{z: \abs{z} < 1 \}[/mm] und [mm]\var{a}[/mm] eine komplexe
> Konstante, [mm]\abs{a} \not=[/mm] 1. Berechnen Sie mittels
> Cauchyscher Integralformel das Integral
>
> [mm]\var{I}[/mm] := [mm]\integral_{C}{\overline{f(x)}(z-a)^{-1} dz}[/mm]
> wobei [mm]\var{C}[/mm] der mathematisch positiv orientierte
> Einheitskreis [mm]\{z: |z|= 1 \}[/mm] sei.
>
> Hinweis: Berechnen sie zunächst den konjugierten Wert
> [mm]\overline{I}[/mm] des Integrals und verwenden Sie dabei die
> Beziehung [mm]\overline{z}=\bruch{1}{z}[/mm] für [mm]\abs{z}=1.[/mm]
> Hi Leute, ich versuch mich grad an obiger Aufgabe.
>
> Ich richte mich nach den Hinweisen, und mache folgendes:
>
> [mm]\overline{I}= \overline{\integral_{C}{\overline{f(z)}(z-a)^{-1} dz}}=\integral_{C}{f(x)\overline{(z-a)^{-1}} dz}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du must [mm]d\overline{z}[/mm] statt dz schreiben.
Also: [mm]\overline{I} =\integral_{C}{f(x)\overline{(z-a)^{-1}} d\overline{z}}[/mm]
Die Integration läuft also über [mm]\overline{z}[/mm]. Jetzt substituierst du [mm]\overline{z}=\bruch{1}{z}[/mm].
Nach ein bischen Rechnung machst du eine Partialbruchzerlegung und kannst dann das Integral angeben.
> Dann frag ich mich, warum steht da dieser Hinweis? Wieso
> kann ich nicht einfach gleich zu Anfang die Cauchysche
> Integralformel anwenden:
> [mm]\overline{f(a)}=\bruch{1}{2\pi \var{i}}\cdot \integral_{C}{\overline{f(z)}(z-a)^{-1} dz}[/mm]
> was ja zu einem anderen Ergebnis führt.
Weil f holomorph ist, und damit [mm]\overline{f}[/mm] nicht holomorph, sondern antiholomorph. Dann gilt die Integralformel nicht.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank.
Das war mir alles nicht so klar, obwohls ja eigentlich nur Grundlagen sind...
Also wie wärs dann mit:
[mm] \overline{I}= \overline{\integral_{C}{\overline{f(z)}(z-a)^{-1} dz}}=\integral_{C}{f(x)\overline{(z-a)^{-1}} d\overline{z}}=\integral_{C} {\bruch{f(z)}{\overline{z}-\overline{a}} d\overline{z}}
[/mm]
Substitution mit [mm] \overline{z}=\bruch{1}{z} [/mm] und [mm] d\overline{z}=-\bruch{1}{z^2}dz [/mm] :
[mm] \overline{I}=-\integral_{C} {\bruch{f(z)}{(\bruch{1}{z}-\overline{a}) \cdot z^2} dz}=-\integral_{C} {\bruch{f(z)}{z- z^2 \cdot\overline{a}} dz}=-\integral_{C}{ \bruch{f(z)}{\overline{a}} \cdot \bruch{1}{z(\bruch{1}{\overline{a}}-z)}dz}
[/mm]
Nun Partialbruchzerlegung, und es ergibt sich:
[mm] \overline{I}=-\integral_{C}{ \bruch{f(z)}{\overline{a}} \cdot (\bruch{\overline{a}}{z}+\bruch{\overline{a}}{\bruch{1}{\overline{a}}-z})dz}=-\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z}+\bruch{f(z)}{\bruch{1}{\overline{a}}-z}dz}=-\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z}dz}+\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z-\bruch{1}{\overline{a}}}dz}
[/mm]
Da f(z) holomorph ist, müsste ich doch nun die entsprechende Form des Integrals haben, um die Cauchysche Integralformel anwenden zu können. Ist das soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 02.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\overline{I}=-\integral_{C}{ \bruch{f(z)}{\overline{a}} \cdot (\bruch{\overline{a}}{z}+\bruch{\overline{a}}{\bruch{1}{\overline{a}}-z})dz}=-\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z}+\bruch{f(z)}{\bruch{1}{\overline{a}}-z}dz}=-\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z}dz}+\integral_{C}{\bruch{f(z)}{z-\bruch{1}{\overline{a}}}dz}[/mm]
>
> Da f(z) holomorph ist, müsste ich doch nun die
> entsprechende Form des Integrals haben, um die Cauchysche
> Integralformel anwenden zu können. Ist das soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alles richtig!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Mr.Teutone |
Vielen Dank nochmal für deine Hilfestellung.
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