Kurve, DGL, Integralgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 03.11.2013 | | Autor: | casiokid |
| Aufgabe | Sei X: U [mm] \to \IR^n [/mm] ein stetiges Vektorfeld auf der offenen Menge U [mm] \subseteq \IR^n. [/mm] Zeige eine Kurve [mm] \gamma: [/mm] I [mm] \to [/mm] U erfüllt die DGL
[mm] \bruch{d\gamma}{dt} [/mm] = [mm] X(\gamma [/mm] (t)) für alle t [mm] \in [/mm] I
genau dann, wenn sie der Integralgleichung genügt
[mm] \gamma [/mm] (t) - [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] I
für ein festes [mm] t_{0} \in [/mm] I genügt. |
Mein Ansatz:
es gilt [mm] \bruch{d\gamma}{dt} [/mm] = [mm] X(\gamma [/mm] (t)) für alle t [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \gamma(t) [/mm] - [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm] =
[mm] \gamma(t) [/mm] - [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{\gamma ' (s) ds} [/mm] =
[mm] \gamma(t) [/mm] - [mm] \gamma(t_{0})
[/mm]
das wäre die " [mm] \Rightarrow [/mm] " - Richtung, wenn ich es richtig verstanden habe. Allerdings weiß ich nun nicht, wie ich bei der Rückrichtung vorgehen soll. Ich habe mir das gedacht:
[mm] \gamma(t) [/mm] - [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm]
[mm] \gdw \gamma(t) [/mm] = [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm]
Nun weiß ich nicht weiter bzw. wie ich nun auf [mm] \bruch{d\gamma}{dt} [/mm] = [mm] X(\gamma [/mm] (t)) komme.
Kann mir wer bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei X: U [mm]\to \IR^n[/mm] ein stetiges Vektorfeld auf der offenen
> Menge U [mm]\subseteq \IR^n.[/mm] Zeige eine Kurve [mm]\gamma:[/mm] I [mm]\to[/mm] U
> erfüllt die DGL
> [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] = [mm]X(\gamma[/mm] (t)) für alle t [mm]\in[/mm] I
> genau dann, wenn sie der Integralgleichung genügt
> [mm]\gamma[/mm] (t) - [mm]\gamma(t_{0})[/mm] =
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm] für alle t [mm]\in[/mm] I
> für ein festes [mm]t_{0} \in[/mm] I genügt.
> Mein Ansatz:
>
> es gilt [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] = [mm]X(\gamma[/mm] (t)) für alle t [mm]\in[/mm]
> I [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\gamma(t)[/mm] - [mm]\gamma(t_{0})[/mm] = [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
> =
> [mm]\gamma(t)[/mm] - [mm]\gamma(t_{0})[/mm] = [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{\gamma ' (s) ds}[/mm]
> =
> [mm]\gamma(t)[/mm] - [mm]\gamma(t_{0})[/mm]
Na ja, etwas komisch hast Du das aufgeschrieben ....
Mach es so:
$ [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm] = [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{\gamma'(s) ds}= \gamma [/mm] (t) - [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] $
>
> das wäre die " [mm]\Rightarrow[/mm] " - Richtung, wenn ich es
> richtig verstanden habe. Allerdings weiß ich nun nicht,
> wie ich bei der Rückrichtung vorgehen soll. Ich habe mir
> das gedacht:
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] - [mm]\gamma(t_{0})[/mm] = [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
>
> [mm]\gdw \gamma(t)[/mm] = [mm]\gamma(t_{0})[/mm] +
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
> Nun weiß ich nicht weiter bzw. wie ich nun auf
> [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] = [mm]X(\gamma[/mm] (t)) komme.
>
> Kann mir wer bitte helfen?
Du musst in
[mm] $\gamma(t) [/mm] $ = $ [mm] \gamma(t_{0}) [/mm] $ + $ [mm] \integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds} [/mm] $
doch nur nach t differenzieren !
Beachte dabei
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 03.11.2013 | | Autor: | casiokid |
> Du musst in
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\gamma(t_{0})[/mm] + [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
>
> doch nur nach t differenzieren !
>
> Beachte dabei
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
>
> FRED
[mm] \gamma(t_{0}) [/mm] fällt weg, da [mm] t_{0} [/mm] fest gewählt ist siehe Aufgabenstellung.
und nach dem Fundamentalsatz der Analysis gilt
F(x) = [mm] \integral_{x}^{a}{f(s) ds}
[/mm]
F'(x) = f(x)
wenn f stetig Funktionen auf dem Intervall und a [mm] \in [/mm] I beliebig
Naja aufgrund des Integrals auf der rechten Seite, nehme ich an, dass
[mm]\gamma(t_{0})[/mm] + [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm] stetig diffbar ist
und somit gilt dann:
[mm] \bruch{d\gamma}{dt} [/mm] = [mm] X(\gamma(t)) [/mm]
Ist das richtig so? Oder überseh ich einen Teil?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Du musst in
> >
> > [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\gamma(t_{0})[/mm] + [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
>
> >
> > doch nur nach t differenzieren !
> >
> > Beachte dabei
> >
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis
> >
> > FRED
>
> [mm]\gamma(t_{0})[/mm] fällt weg, da [mm]t_{0}[/mm] fest gewählt ist siehe
> Aufgabenstellung.
>
> und nach dem Fundamentalsatz der Analysis gilt
>
> F(x) = [mm]\integral_{x}^{a}{f(s) ds}[/mm]
Du meinst sicher F(x) = [mm]\integral_{a}^{x}{f(s) ds}[/mm]
>
> F'(x) = f(x)
>
> wenn f stetig Funktionen auf dem Intervall und a [mm]\in[/mm] I
> beliebig
>
> Naja aufgrund des Integrals auf der rechten Seite, nehme
> ich an, dass
>
> [mm]\gamma(t_{0})[/mm] + [mm]\integral_{t_{0}}^{t}{X(\gamma (s)) ds}[/mm]
> stetig diffbar ist
>
> und somit gilt dann:
>
> [mm]\bruch{d\gamma}{dt}[/mm] = [mm]X(\gamma(t))[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja
FRED
> Oder überseh ich einen Teil?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 03.11.2013 | | Autor: | casiokid |
Alles klar, vielen Dank.
Diese Aufgabe hat mich sehr verwirrt aber nun ist alles klar!
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