Kurve, Komplex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve [mm] $c:\mathbb{R}\to\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$
[/mm]
[mm] $c(t)=e^{(1+i)t}=e^{t}(cos(t),sin(t))$
[/mm]
für ein beliebiges Intervall [a,b] mit a<b |
Hi,
wenn ich die Bogenlänge einer Kurve bestimmen möchte, dann nehme ich ja das Integral über die Norm der Ableitung.
Gerade habe ich aber ehrlich gesagt schwierigkeiten mit der "Bauart" dieser Funktion. Mag sein, dass es daran liegt, dass ich schon den ganzen Tag dabei bin, aber wie leite ich diese nun ab?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $e^t(cos(t),sin(t))$ [/mm] wird doch einfach folgendes meinen:
[mm] $(e^t(cos(t)), e^t(sin(t)))$ [/mm] und dann wieder einfach differenzieren mit der Produktregel, oder? Also nichts besonderes.
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Hallo,
nein: es geht hier in der Tat um die komplexwertige Funktion
[mm] t\mapsto{e^t*(cos(t)+i*sin(t))}
[/mm]
Deine Idee, das ganze in den [mm] \IR^2 [/mm] (also im Sinne einer Funktion f: [mm] \IR\to\IR^2) [/mm] zu 'transportieren' ist indessen richtig. Achte halt nur auf korrekte Formulierungen bei der Lösung, also: weshalb dies hier funktioniert.
EDIT: insbesondere ist das zweite Gleichheitszeichen in der Ausgangsfrage falsch, ebenso, wie [mm] \IR^2=\IC [/mm] Unsinn ist. Wer gibt so etwas vor?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Aufgabe lautete genau so, ich habe sie nur wiedergegeben, dass
hier höchstens [mm] $\mathbb{R}^2\sim \mathbb{C}$ [/mm] stehen sollte hat mich auch verwundert...
Ich muss also einfach auch hier beide Komponenten nach t differenzieren. Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo YuSul!
> Die Aufgabe lautete genau so, ich habe sie nur
> wiedergegeben, dass
> hier höchstens [mm]\mathbb{R}^2\sim \mathbb{C}[/mm] stehen sollte
> hat mich auch verwundert...
>
> Ich muss also einfach auch hier beide Komponenten nach t
> differenzieren. Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> nein: es geht hier in der Tat um die komplexwertige
> Funktion
>
> [mm]t\mapsto{e^t*(cos(t)+i*sin(t))}[/mm]
>
> Deine Idee, das ganze in den [mm]\IR^2[/mm] (also im Sinne einer
> Funktion f: [mm]\IR\to\IR^2)[/mm] zu 'transportieren' ist indessen
> richtig. Achte halt nur auf korrekte Formulierungen bei der
> Lösung, also: weshalb dies hier funktioniert.
>
> EDIT: insbesondere ist das zweite Gleichheitszeichen in der
> Ausgangsfrage falsch, ebenso, wie [mm]\IR^2=\IC[/mm] Unsinn ist. Wer
> gibt so etwas vor?
es ist nicht ganz korrekt, aber ich habe das auch schon gesehen, dass
man [mm] $(x,y)=x+iy\,$ [/mm] schreibt, wenngleich es da eigentlich um einen Isomorphismus
geht.
Eine Notation der Art
$f [mm] \colon [/mm] ... [mm] \to \IR^2=\IC$
[/mm]
finde ich auch gar nicht so schlimm, wenngleich natürlich das [mm] $=\,$ [/mm] da unangebracht
ist - ich kenne es so, dass man [mm] $\cong$ [/mm] schreibt. Ich finde es deshalb nicht
schlimm, weil ich denke, dass keine große Verwirrung vorherrschen wird,
wenn man [mm] $(x,y)\,$ [/mm] und [mm] $x+iy\,$ [/mm] synonym verwendet. Aber eigentlich sind
da schon - vor allem bei der Multiplikation - Strukturen zu beachten. Bei uns
wurde auch [mm] "$\IC$" [/mm] als "der Körper [mm] $\IR^2$ [/mm] mit folgender Addition ... und folgender
Multiplikation..." (eventuell wurde
das hier in der Analysis ja auch so gemacht?) eingeführt. Da ist sogar die
Notation [mm] $\IC=\IR^2$ [/mm] erlaubt, wobei
die rechte Seite eigentlich ja nur "eine Kurzfassung" ist.
Das kennt man aber:
Man spricht ja auch immer vom Körper [mm] $\IR$ [/mm] oder vom Körper [mm] $\IQ\,,$ [/mm] obgleich
da ja noch die Additionen und Multiplikationen eigentlich zu erwähnen sind.
(Ein Körper ist ein Tripel ... mit ...).
P.S. Man kann ja [mm] $\IC$ [/mm] auch mit $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen einführen etc. pp. Aber
dann schweifen wir hier doch ein wenig stark ab. Ich glaube, es ist hier
wirklich die Frage, wie [mm] $\IC$ [/mm] definiert/eingeführt worden ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> nein: es geht hier in der Tat um die komplexwertige
> Funktion
>
> [mm]t\mapsto{e^t*(cos(t)+i*sin(t))}[/mm]
>
> Deine Idee, das ganze in den [mm]\IR^2[/mm] (also im Sinne einer
> Funktion f: [mm]\IR\to\IR^2)[/mm] zu 'transportieren' ist indessen
> richtig. Achte halt nur auf korrekte Formulierungen bei der
> Lösung, also: weshalb dies hier funktioniert.
wenn ich das richtig sehe, liegt das an zwei Gründen. Einer hat aber
durchaus was mit der [mm] $\|.\|$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] zu tun: Der Zusammenhang zum Betrag
einer komplexen Zahl? Oder?
Kann man das nicht vielleicht einfach mal allgemein aufschreiben? Denn ich
denke nicht, dass das hier nur aus einem speziellen Grund funktioniert
(oder übersehe ich etwas)?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]e^t(cos(t),sin(t))[/mm] wird doch einfach folgendes meinen:
>
> [mm](e^t(cos(t)), e^t(sin(t)))[/mm] und dann wieder einfach
> differenzieren mit der Produktregel, oder? Also nichts
> besonderes.
ja, Du fasst hier halt die Funktion als Funktion nach [mm] $\IR^2$ [/mm] auf. Und es gilt halt
$r*(u,v)=(r*u,r*v)$
für $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $(u,v) [mm] \in \IR^2$ [/mm] "gemäß üblicher Definition des Vektorraums [mm] $\IR^2$ [/mm] über [mm] $\IR$".
[/mm]
(Und das passt ja auch schön zu dem, was man haben will, wenn man eine
reelle Zahl mit einer komplexen multipliziert.)
Wenn Du also $f [mm] \colon \IR \to \IR^2$ [/mm] identifizierst vermittels
[mm] $f(t):=(e^t*\cos(t),\;e^t*\sin(t))\,,$
[/mm]
dann geht's jetzt so weiter, wie Du sagtest:
Du brauchst die Ableitungen von
$t [mm] \mapsto e^t*\cos(t)$ [/mm] bzw. $t [mm] \mapsto e^t [/mm] * [mm] \sin(t)\,,$
[/mm]
die Du mit elementaren Ableitungskenntnissen und der Produktregel errechnest.
Wobei danach dann
[mm] $|(u,v)|=\|(u,v)\|_2=\sqrt{u^2+v^2}$
[/mm]
zu benutzen sein wird.
Allerdings kann man da durchaus, wie Diophant schon bemerkte, einiges
bzgl. eines "formalen Feinschliffes" ergänzen - wobei ich denke, dass das
eigentlich schon Euer Prof. hätte machen sollen, als er den Begriff der
"Bogenlänge? Kurvenlänge" (da gibt's in der Literatur nicht immer einheitliche
Verwendungen für) eingeführt hat.
Also: Einfach mal weiterrechnen und das Ergebnis zeigen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve
> [mm]c:\mathbb{R}\to\mathbb{C}=\mathbb{R}^2[/mm]
>
> [mm]c(t)=e^{(1+i)t}=e^{t}(cos(t),sin(t))[/mm]
>
> für ein beliebiges Intervall [a,b] mit a<b
> Hi,
>
> wenn ich die Bogenlänge einer Kurve bestimmen möchte,
> dann nehme ich ja das Integral über die Norm der
> Ableitung.
ja - Du kannst ![[]](/images/popup.gif) Satz 26.15 benutzen, da dessen Voraussetzungen offensichtlich erfüllt
sind. Dabei ist [mm] $|\,.|$ [/mm] die entsprechende Norm des [mm] $\IK^1$ [/mm] - also [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IC\,.$
[/mm]
> Gerade habe ich aber ehrlich gesagt schwierigkeiten mit
> der "Bauart" dieser Funktion. Mag sein, dass es daran
> liegt, dass ich schon den ganzen Tag dabei bin, aber wie
> leite ich diese nun ab?
Es ist
[mm] $\frac{d}{dt}c(t)$
[/mm]
zu berechnen. Wenn Du in [mm] $\IC$ [/mm] rechnest, darfst Du rechnen wie gewohnt (schau
meinetwegen oben auch nochmal ins Kapitel 13, wo auch Funktionen [mm] $\IR \supseteqq [/mm] M [mm] \to \IC$
[/mm]
mit eingeschlossen sind).
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] wie gewohnt, aber das halt "koordinatenweise".
Beispiel:
Ist [mm] $f(t):=t^2+i*2t\,,$ [/mm] so ist
[mm] $f'(t)=\frac{d}{dt}f(t)=\frac{d}{dt}t^2+\frac{d}{dt}i*2t=2t+i*2\,.$
[/mm]
Als [mm] $\IR^2$-Version [/mm] würdest Du analog
[mm] $f(t)=\vektor{t^2\\2t}$
[/mm]
und dann
[mm] $f'(t)=\vektor{\frac{d}{dt}t^2\\\frac{d}{dt}2t}=\vektor{2t\\2}$
[/mm]
rechnen.
Immer dran denken: Der Definitionsbereich hier ist "1D".
Gruß,
Marcel
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