Kurve,Spur, Tangentialvektor < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi
Erstmal die Definitionen, damit wir wissen über was wir sprechen 
Kurve: Stetige Funktion f: I [mm] \to \IR^{n}, [/mm] wobei I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist.
Spur: f(I)
Möchte anhand eines Beispiels gerne wissen, ob ich den Unterschied richtig verstanden habe:
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit x [mm] \to x^2
[/mm]
Würde man die Spur zeichnen wollen, bräuchte man nur einen Zahlenstrahl und darauf müsste man die Punkte von 0 bis unendlich einzeichnen. Soweit richtig?
Jetzt meine Frage zum Tangentialvektor: Das ist doch der Vektor, der die Spur nur in einem Punkt berührt, oder? Dann kommt das aber in obigem Beispiel nicht hin: Z.B. haben wir an der Stelle 2 den den Tangentialvektor 4. Wie ist das geometrisch zu deuten?
Gibt der Betrag des Tangentialvektors die Steigung der Kurve an? Das wäre in dem Beispiel wieder nicht nachzuvollziehen.
Hoffe jemand findet durch dieses Wirrwarr durch und kann mir die Fragen beantworten..
Viele Grüße,
Blueman
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Hallo!
Nun, ich denke, im eindimensionalen wirst du nicht glücklich.
Zwar funktioniert das ganze da auch, aber anschaulich ist es NICHT.
Wie wäre es mit dem zweidimensionalen?
$i [mm] \to \vektor{i^2 \\ i}$ [/mm] beschreibt eine Parabel.
Die Spur ist genau das: Die Parabel. In der Physik nennt man das auch Bahnkurve.
Der Tangentialvektor ist nun die Ableitung nach i, hier also [mm] \vektor{2i \\ 1}. [/mm] Wie du richtig erkannt hast, steht hier die Steigung einer Parabel drin. (Eine Tangente ist das natürlich nicht.)
Allerdings ist diese Schreibweise viel mächtiger als das, was man aus der Analysis in der Schule kennt:
$i [mm] \to \vektor{\cos i \\ \sin i}$ [/mm] hat als Spur den Einheitskreis, die Ableitung ist $i [mm] \to \vektor{-\sin i \\ \cos i}$. [/mm] Mit andern Worten, das funktioniert auch mit völlig wilden Bahnkurven!
Und da ich nunmal Physiker bin: Man kann das i als Zeit ansehen, dann beschreibt die Spur die Bahn eines Teilchens, und der Tangentialvektor gibt die Geschwindigkeit an.
Dein eindimensionals Beispiel wäre dann z.B. ein Beschleunigungstest eines Autos.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi Vielen Dank für die Antwort. Ein paar Fragen habe ich noch:
> Hallo!
>
> Nun, ich denke, im eindimensionalen wirst du nicht
> glücklich.
>
> Zwar funktioniert das ganze da auch, aber anschaulich ist
> es NICHT.
Ok
> Wie wäre es mit dem zweidimensionalen?
>
>
> [mm]i \to \vektor{i^2 \\ i}[/mm] beschreibt eine Parabel.
>
> Die Spur ist genau das: Die Parabel. In der Physik nennt
> man das auch Bahnkurve.
>
> Der Tangentialvektor ist nun die Ableitung nach i, hier
> also [mm]\vektor{2i \\ 1}.[/mm] Wie du richtig erkannt hast, steht
> hier die Steigung einer Parabel drin. (Eine Tangente ist
> das natürlich nicht.)
Und die Steigung der Spur an der Stelle i ist denn der Betrag vom Tangentialvektor? Oder geht das nicht so einfach?
>
> Und da ich nunmal Physiker bin: Man kann das i als Zeit
> ansehen, dann beschreibt die Spur die Bahn eines Teilchens,
> und der Tangentialvektor gibt die Geschwindigkeit an.
Aber man kann ja nicht sagen, zur Zeit t = 5 ist das Teilchen an der Stelle (x,y) und hat die Geschwindigkeit v. Dafür bräuchte ich dann ein 3-dimensionales Koordinatensystem und zeichne den Graphen der Kurve wie im 1. Semester. Richtig?
Viele Grüße,
Blueman
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Hallo!
Zu dem "Steigungsvektor":
Nee, denk mal an den Anfang der Analysis in der Schule: "1 Schritt nach links, "steigung" Schritte nach oben." In Vektoren ist das doch genau [mm] \vektor{1 \\ m} [/mm] Hier sehe ich grade, daß ich x und y in meinem Beispiel vertauscht habe, sorry!
Also, die Steigung steht im Vektor als Komponente drin, sofern du ihn so normierst, daß die x-Komponente 1 ist. Das ist also noch einfacher als der Betrag! (Die Steigung von i² ist doch 2i, vertausche in meinem Beispiel einfach x und y...)
Zu deinem letzten Kommentar:
Diese Ableitung gibt dir letztendlich auch einen GeschwindigkeitsVEKTOR. Das heißt, 2 Dimensionen für den Raum, und 2 für die Geschwindigkeit.
Die "wahre" Geschwindigkeit ist allerdings der Betrag des Geschwindigkeitsvektors.
Allerdings ist es eine nicht unübliche Darstellungsweise, einen Vektor tangential an eine Kurve zu zeichnen, und ihm als Länge die Geschwindigkeit zu geben. Man muß nur wissen, was man da tut.
Ach ja, diese st-Diagramme sind natürlich wieder was anderes: Da ist auf der x-Achse die Zeit, demnach ist hier die Geschwindigkeit tatsächlich die Ableitung. In deinem Fall ist die Zeit ja dieses Intervall und taucht eigentlich gar nicht in deinem [mm] \IR^n [/mm] auf.
Also nochmal zusammenfassend:
t=5
Das Teilchen befindet sich bei [mm] \vektor{25 \\ 5} [/mm] und hat die Geschwindigkeit [mm] \vektor{10 \\ 1}. [/mm] Der Betrag der Geschwindigkeit wäre also [mm] \wurzel{101}. [/mm] Offensichtlich wird das Teilchen ja beschleunigt, denn es wird ja schneller. Würde man jetzt grade die Beschleunigende Kraft abschalten, würde das Teilchen entlang des Tangentialvektors weiterfliegen. Pro Zeiteinheit immer 10 zur Seite und 1 nach oben.
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