Kurve angeben < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 So 22.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo miteinander,
Und zwar würde mich interessieren, wie ich eine reguläre Kurve im [mm] C^1 [/mm] explizit angeben kann. Hierzu die folgenden Angaben.
Man hat zwei Kreise [mm] M_1 [/mm] mit Mittelpunkt (0,0) und Radius 1 im [mm] IR^2 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] mit Mittelpunkt (3,0) und Radius 2 gegeben Die Kurve ist durch folgende Abbildungsvorschrift gegeben [mm] c:[0,k]-->M_1 \cup M_2 [/mm] mit [mm] c([0,2\pi])=M_1 [/mm] und [mm] c([2\pi,k])=M_2 [/mm] Weiterhin gilt [mm] c(0)=c(2\pi)=c(k)=(1,0). [/mm] C ist ausserdem nach der Bogenlänge parametrisiert. Habt ihr ne Idee wie man das angeht. Wie lautet denn die allgemeine Gleichung dieser Kurve im [mm] IR^2? [/mm] Werden dann die vorgegebenen Werte einfach nur noch eingesetzt?
Viele Grüße
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo miteinander,
> Und zwar würde mich interessieren, wie ich eine reguläre
> Kurve im [mm]C^1[/mm] explizit angeben kann. Hierzu die folgenden
> Angaben.
> Man hat zwei Kreise [mm]M_1[/mm] mit Mittelpunkt (0,0) und Radius
> 1 im [mm]IR^2[/mm] und [mm]M_2[/mm] mit Mittelpunkt (3,0) und Radius 2
> gegeben Die Kurve ist durch folgende Abbildungsvorschrift
> gegeben [mm]c:[0,k]-->M_1 \cup M_2[/mm]
Was ist den das für ein Unsinn ???
Wohin geht die Abb. c wirklich ?
Edit: ich nehme alles zurück.
FRED
> mit [mm]c([0,2\pi])=M_1[/mm] und
> [mm]c([2\pi,k])=M_2[/mm] Weiterhin gilt [mm]c(0)=c(2\pi)=c(k)=(1,0).[/mm] C
> ist ausserdem nach der Bogenlänge parametrisiert. Habt ihr
> ne Idee wie man das angeht. Wie lautet denn die allgemeine
> Gleichung dieser Kurve im [mm]IR^2?[/mm] Werden dann die
> vorgegebenen Werte einfach nur noch eingesetzt?
> Viele Grüße
> jacob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 23.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Habe mir die Aufgabenstellung noch mal durchgelesen. Das Bild der Kurve ist wirklich die Vereinigung der beiden Kreise. Ist das nicht sinnvoll schließlich schneiden sich die beiden Kreise auch in genau einem Punkt. Wenn man aber weiß dass das Bild aus zwei Kreisen besteht so müsste die Gleichung der Kurve doch in Richtung cos und sin gehen?
viele Grüße
jacob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Habe mir die Aufgabenstellung noch mal durchgelesen. Das
> Bild der Kurve ist wirklich die Vereinigung der beiden
> Kreise. Ist das nicht sinnvoll schließlich
Doch, es ist sinnvoll. Es lag an mir. Ich habe nicht richtig gelesen !
Pardon
FRED
> schneiden sich
> die beiden Kreise auch in genau einem Punkt. Wenn man aber
> weiß dass das Bild aus zwei Kreisen besteht so müsste die
> Gleichung der Kurve doch in Richtung cos und sin gehen?
> viele Grüße
> jacob
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> Habe mir die Aufgabenstellung noch mal durchgelesen. Das
> Bild der Kurve ist wirklich die Vereinigung der beiden
> Kreise. Ist das nicht sinnvoll schließlich schneiden sich
> die beiden Kreise auch in genau einem Punkt. Wenn man aber
> weiß dass das Bild aus zwei Kreisen besteht so müsste die
> Gleichung der Kurve doch in Richtung cos und sin gehen?
Hallo jacob,
klar kommen hier cos und sin zum Zug oder alternativ
dazu die komplexe Exponentialfunktion. Du musst im
Prinzip nur geeignete Parametrisierungen der beiden
Kreise aneinanderfügen. Das noch gesuchte k steht
natürlich für die Gesamtlänge der Kurve.
Noch nicht ganz klar ist, ob du die Kurve nun in [mm] \IR^2
[/mm]
oder in [mm] \IC [/mm] beschreiben willst.
Die Parametrisierung wird keine "geschlossene" Glei-
chung für die Kurve liefern. Eine solche könnte man
aber durchaus auch aufstellen:
$\ [mm] x^4-6 x^3+2 x^2 y^2+4 x^2-6 [/mm] x [mm] y^2+6 x+y^4+4 y^2-5 [/mm] = 0$
Aber dies war ja wohl gar nicht gefragt ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 23.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo,
Also für den ersten Kreis gilt ja der Zusammenhang: [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1, da dieser den Radius 1 besitzt. Eine Parametrisierung wäre dann doch zum Beispiel durch [mm] c(t_1)=(r [/mm] cos [mm] t_1,r [/mm] sin [mm] t_1) [/mm] mit [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und [mm] t_1 \in [/mm] [0,2 [mm] \pi) [/mm] gegeben. Für den zweiten Kreis gilt dann [mm] (x-3)^2+y^2 \le [/mm] 2?
Viele Grüße
jacob
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> Hallo,
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> Also für den ersten Kreis gilt ja der Zusammenhang:
> [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
du brauchst doch nur die Kreislinie und nicht die
ausgefüllte Kreisscheibe !!
also $\ x=cos(t)$ und $\ y=sin(t)$ für [mm] 0\le{t}\le2\pi
[/mm]
LG Al-Chw.
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