Kurve regulär parametrisieren < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 20.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Gegeben sind die unparametrisierten Kurven:
[mm] \Gamma_{1} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] = 0}
[mm] \Gamma_{2} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | [mm] x^{3} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] = 0}
und die parametrisierte Kurve:
[mm] \gamma_{3} [/mm] = (sin(t), [mm] \bruch{t}{2} [/mm] + [mm] \bruch{sin(2t)}{4}) [/mm] mit t [mm] \in \IR
[/mm]
a)...
b) Welche dieser Kurven lassen sich regulär parametrisieren? Geben sie eine solche Parametrisierung an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.
c)... |
Hallo
Ich bin gerade auf diese Aufgabe gestossen, die ich schon während des Semesters nicht lösen konnte.
Mein Problem ist, dass ich trotz einer langen Suche nach einer Anleitung, eine Kurve regulär zu parametrisieren, nichts gefunden habe.
Als ich dann meinen Übungsleiter fragte, wie man denn hier vorgehen soll meinte er bloss, es gäbe keine allgemeingültige Methode, sowas zu machen, man müsste es eben "sehen".
Nun, ihr versteht wohl, dass ich dies so nicht ohne weiteres akzeptieren kann und würde darum gerne wissen, wie ihr diese Aufgabe lösen würdet.
Es geht mir hier weniger um den Beweis, falls eine Parametrisierung nicht existieren sollte, sondern um das Vorgehen, um im Falle der Existenz einer solchen, sie zu finden.
Also nur die Kurve [mm] \Gamma_{1} [/mm] betrachten bitte, da die anderen beiden keine reguläre Parametrisierung besitzen!
Vielen Dank :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 20.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Mein Problem ist, dass ich trotz einer langen Suche nach
> einer Anleitung, eine Kurve regulär zu parametrisieren,
> nichts gefunden habe.
> Als ich dann meinen Übungsleiter fragte, wie man denn
> hier vorgehen soll meinte er bloss, es gäbe keine
> allgemeingültige Methode, sowas zu machen, man müsste es
> eben "sehen".
Wie traurig es ist: er hat leider Recht. Es gibt kein Verfahren um auf schöne Ideen zu kommen. Irgendeine parametrisierung zu finden dürfte an sich imho nicht schwierig sein: man schneide erstmal alle Kreuzungspunkte raus, überdecke alles andere mit mikroskopisch kleinen Kreisscheiben, benutze den Satz von der expliziten Funktion um einen abzählbaren Haufen lokaler parametrisierungen zu erhalten, nutze die Stetigkeit aus, um die Kreuzungspunkte wieder reinzukleben... Oder so ähnlich, könnte vielleicht sogar klappen... Aber das ist ein nicht besonders konstruktiver Existenzbeweis, so einen zusammengeklebten Haufen von lokalen Parametrisierungen würde kein Mensch schön finden. Schön ist aber ein ziemlich schwammiger begriff. Wenn dein übungsgruppenleiter irgendeine besonders schöne Formel gefunden hat, die die gesamte Kurve am Stück parametrisiert, dann ist es zweifellos schön. Ich würde die Kurve wohl eher in 3 teile zerschneiden, wenn ich die auf Bogenlänge parametrisieren müsste, mir fällt grad keine schöne geschlossene Formel für das gesamte Ding ein.
Aber so allgemein: es gibt für fast nichts interessantes eine "Anleitung". Wenn man alles nach einer Anleitung machen will, muss man wohl bei kleinen linearen Gleichungssystemen bleiben...
> Nun, ihr versteht wohl, dass ich dies so nicht ohne
> weiteres akzeptieren kann und würde darum gerne wissen,
> wie ihr diese Aufgabe lösen würdet.
> Es geht mir hier weniger um den Beweis, falls eine
> Parametrisierung nicht existieren sollte, sondern um das
> Vorgehen, um im Falle der Existenz einer solchen, sie zu
> finden.
naja, in diesem fall kannst du diese Darstellung fast schon nach y auflösen, bis auf die tatsache, dass da ein paar fallunterscheidungen und Plusminuse reinkommen: für $x$ bekommt man [mm] $y=\pm\sqrt{x^3+x^2}$ [/mm] für alle Punkte, die zu dieser Varietät gehören. Da du hier in [mm] $\IR$ [/mm] bist, muss der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein. Wo ist das so? Das findest du raus, indem du alle Nullstellen des Polynoms unter der Wurzel auffindest: $-1$ und $0$ wären das hier in diesem Fall. Für $x<-1$ gibt es keine Punkte, die zu dieser Kurve gehören. Betrachte separat [mm] $y=\pm\sqrt{x^3+x^2}$ [/mm] auf Intervallen $[-1,0]$ und [mm] $[0,\infty)$, [/mm] berechne die Ableitungen an den Rändern. Wenn du das machst, fällt dir auf: oh ja, man kann den rechten-plus-Teil mit dem linken-minus-Teil zusammenkleben, dann weiter mit dem linken-plus-Teil und schließlich mit dem rechten-minus Teil, weil da die Ableitungen grad alle zusammenpassen. Also kann man diese Kurve so zu sagen mit einem Schwung malen, ohne die Kurve zu knicken oder zu bremsen. Jetzt muss man sich nur noch überlegen, wie man das schön hinschreibt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Do 20.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Andrey
> Wie traurig es ist: er hat leider Recht. Es gibt kein
> Verfahren um auf schöne Ideen zu kommen.
Nun, ich hatte befürchtet, dass es in diesem Fall wirklich nicht geht. Trotzdem konnte ich das nicht einfach so annehmen.. ^^
Irgendeine
> parametrisierung zu finden dürfte an sich imho nicht
> schwierig sein: man schneide erstmal alle Kreuzungspunkte
> raus, überdecke alles andere mit mikroskopisch kleinen
> Kreisscheiben, benutze den Satz von der expliziten Funktion
> um einen abzählbaren Haufen lokaler parametrisierungen zu
> erhalten, nutze die Stetigkeit aus, um die Kreuzungspunkte
> wieder reinzukleben... Oder so ähnlich, könnte vielleicht
> sogar klappen...
Ja.. Ok... vielleicht verstehen wir unter "einfach" verschiedene Sachen.. kann das sein? :D
> Aber so allgemein: es gibt für fast nichts interessantes
> eine "Anleitung". Wenn man alles nach einer Anleitung
> machen will, muss man wohl bei kleinen linearen
> Gleichungssystemen bleiben...
Meine Kritik ist es nun auch nicht, dass es Schade ist, kann man sowas nicht verallgemeinern. Nur für die bevorstehende Prüfung wäre es von Vorteil gewesen, da man sich in soner Situation ja nicht unbedingt darauf verlassen kann, etwas sofort zu sehen :)
Eine Parametrisierung ist für [mm] \Gamma_{1} [/mm] ist [mm] \gamma_{1} [/mm] = [mm] (t^{2} [/mm] - 1 . [mm] t^{3} [/mm] - t)
Nochmals aber rasch:
Ich werde (wie wohl alle die Mathematik studieren wollen oder studiert haben) immer Interesse am Stoff haben und wohl für das eine oder andere Zeit und Arbeit investieren müssen. Wenn das Interesse da ist, sollte dies aber auch kein Problem darstellen und grösstenteils sogar gerne getan werden.
Ausnahmen werden grösstenteils wohl auch die Interessanten Beobachtungen bleiben und man wird nie, wie von dir erwähnt, das Interessante verallgemeinern können, das ist klar.
Trotzdem.. wenn an einer Prüfung sowas vorkommen kann und wird, dann wäre ich froh darüber, wenn man in der kurzen Zeit die man hat nicht unbedingt etwas "sehen" müsste.. Vielleicht ist das auch ein bisschen faul oder egoistisch oder nur "einfach", aber sicher fühlt man sich dadurch trotzdem :)
Auf jeden Fall vielen Dank für deine Ausführungen und deine Hilfe!
Lg, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Fr 21.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Auf jeden Fall vielen Dank für deine Ausführungen und
> deine Hilfe!
Warte mal ein Moment, die Musterlösung war so radikal viel schöner als die parametrisierungen, die ich mir hier hingekritzelt habe, dass ich jetzt ordentlich zweifle, ob ich nicht doch etwas in Computeralgebra-Vorlesung überhört habe^^
Dass es nicht so wirklich "im Allgemeinen" geht, habe ich öfters gelesen, als ich mir überlegt hatte, wie man implizit gegebene Varietäten am einfachsten Plotten soll: die Algebraiker haben mir damals gesagt, dass man Parametrisierungen i.Allg. vergessen kann. Aber vielleicht gibt es für spezialfälle doch ein Paar tricks...
> Ja.. Ok... vielleicht verstehen wir unter "einfach"
> verschiedene Sachen.. kann das sein? :D
Oder ich hab' in letzter Zeit einfach zuviel Analysis zum Frühstück gegessen...
> Eine Parametrisierung ist für [mm]\Gamma_{1}[/mm] ist [mm]\gamma_{1}[/mm] =
> [mm](t^{2}[/mm] - 1 . [mm]t^{3}[/mm] - t)
Oh je... Sag mal, kannst du evtl. einschätzen, wer dein Übungsgruppenleiter ungefährt ist? Wenn das so ein Diplomer ist, der ein paar Jahre lang Algebra-Übungsgruppen geleitet hat, dann kann es sein, dass er das tatsächlich "einfach so sieht", weil er schon hunderte solcher Kurven mal parametrisieren musste, dass es ihm offensichtlich erscheint.
Das ist dann vielleicht eher so, wie beim finden von Stammfunktionen: in der Schule heult man über alles was kein Polynom ist, nach paar Jahren Mathe und Physik kann man dann aber irgendwelchen merkwürdigen verschachtelten Kram mit vielen Wurzeln und Logarithmen im Kopf integrieren...
> Trotzdem.. wenn an einer Prüfung sowas vorkommen kann und
> wird, dann wäre ich froh darüber, wenn man in der kurzen
> Zeit die man hat nicht unbedingt etwas "sehen" müsste..
> Vielleicht ist das auch ein bisschen faul oder egoistisch
> oder nur "einfach", aber sicher fühlt man sich dadurch
> trotzdem :)
ja, kann das sehr gut verstehen. Aber so ein richtig schönes verfahren, wie man solche Kurven parametrisiert fällt mir trotzdem nicht ein. Habe jetzt versucht hier durch vergleich von leitkoeffizienten von x(t) und y(t) einen Ansatz mit zwei polynomen relativ kleinen Grades zu machen, doch dies erscheint mir immer noch zu aufwendig, obwohl das zum ziel führen könnte. Falls du hier nicht weiterkommst nicht: frag deinen Übungsgruppenleiter nach einer Liste von 10 Kurven, die man unbedingt mal parametrisiert haben soll, dann kannst du es irgendwann evtl. auch einfach so im Kopf. Oder markiere die Frage nochmal etwas roter, und warte bis jemand antwortet, der ein bisschen mehr Ahnung von Algebra hat, ich kann im Moment leider nur mit abzählbaren Vereinigungen von Kreisscheiben um mich werfen, sorry^^ /-;
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