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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 05.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei I ein reelles Intervall, U eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] sei K:I->U eine differenzierbare Kurve, und h eine Stammfunktion des Verktorfeldes f auf U.
Zeigen Sie: Ist K eine Lösung der Differentialgleichung K°(t)=f(K(t)) [mm] (t\in [/mm] I),
dann ist [mm] h\circ K:I->\IR [/mm] monoton wachsend. |
Hallo liebe Gemeinde!
also ich soll zeigen dass für alle x,y aus I mit x<y gilt h(K(x))<h(K(y))
und es gilt ja [mm] \integral{f(t) dt}=h(x)+c
[/mm]
aber wie geht das mit der Differentialgleichung zusammen?
Ich hab fürs erste mal keinen Plan wie ich den Beweis beginnen soll...
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Hallo,
so auf die Schnelle ist mir folgendes eingefallen:
Z.z. ist entweder deine Variante, also [mm] \forall x,y\in [/mm] I mit x<y: h(K(x))<h(K(y))
Oder man zeigt: [mm] \frac{d}{dx}h(K(x))>0
[/mm]
Das wollen wir zeigen. Und somit ergibt sich:
[mm] \frac{d}{dx}h(K(x))=K'(x)*h'(K(x))=K'(x)*f(K(x))=K'(x)*K'(x)=(K'(x))^2>0
[/mm]
Gleichungskette ergibt sich eben, weil f=h' und eben die DGL erfüllt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Sa 05.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
super, danke! der weg ist gut!
aber wieso kann [mm] K'(x)^2 [/mm] nicht = 0 sein?
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Hallo,
> aber wieso kann [mm]K'(x)^2[/mm] nicht = 0 sein?
Es kann auch 0 sein. Das dürfte für die Aufgabe aber irrelevant sein, da für "monoton wachsend" die Ableitung nur [mm] $\ge [/mm] 0$ sein muss.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 So 06.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
stimmt auch wieder... 
danke!
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