KurvenIntegral (e^z)/z < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{e^{z}}{z} dz} [/mm] für [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] re^{it}; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz für dieses Beispiel war es, nun definitionsgemäß in das Kurvenintegral einzusetzen, sodass man nun
[mm] \integral_{0}^{2*pi}{\bruch{e^{re^{it}}}{re^{it}} ire^{it} dt}
[/mm]
erhält. Nach kürzen und Substitution von [mm] re^{it} [/mm] durch rcos(t) + irsin(t) im Exponenten von e erhalte ich dann aber (nach 2 weiteren Umformungsschritten)
- [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{e^{cos(t)}sin(sin(t)) dt} [/mm] + i [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{e^{cos(t)}cos(sin(t) dt}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht weiter. Wie kann man Sin(Sin(t)) bzw. Cos(Sin(t)) integrieren? Bzw. geht das überhaupt.
Oder ist der Ansatz überhaupt schlecht?
Danke für alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 14.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Spricht etwas dagegen, den Residuensatz zur Berechnung dieser Integrals einzusetzen? Oder hattet ihr den noch nicht?
Viele Grüße
Rainer
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Den Residuensatz hatten wir leider noch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Mo 14.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Dann fällt mir nur noch die Berechnung mittels der Integralformel von Cauchy ein. Im Moment sehe ich nicht, wie man dieses Integral explizit ausrechnen kann.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Di 15.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Dann fällt mir nur noch die Berechnung mittels der
> Integralformel von Cauchy ein. Im Moment sehe ich nicht,
> wie man dieses Integral explizit ausrechnen kann.
Man koennte ihn aber zur Hilfe nehmen :) Die Funktion [mm] $\frac{e^z}{z}$ [/mm] kann man als die Summe von [mm] $\frac{1}{z}$ [/mm] und [mm] $\frac{e^z - 1}{z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{(k + 1)!}$ [/mm] schreiben. Das Integral kann man dann aufschreiben, und nach dem Integralsatz von Cauchy ist das zweite Integral dann 0. Wenn man den Integralsatz noch nicht hatte, muss man halt die Summe aus dem Integral ziehen (Stichwort: absolute Konvergenz) und damit bekommt man dann, dass das 0 ergibt.
Bleibt also das Integral ueber [mm] $\frac{1}{z}$. [/mm] Aber da hattet ihr vielleicht schon etwas in der Vorlesung?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> > Dann fällt mir nur noch die Berechnung mittels der
> > Integralformel von Cauchy ein. Im Moment sehe ich nicht,
> > wie man dieses Integral explizit ausrechnen kann.
>
> Man koennte ihn aber zur Hilfe nehmen :) Die Funktion
> [mm]\frac{e^z}{z}[/mm] kann man als die Summe von [mm]\frac{1}{z}[/mm] und
> [mm]\frac{e^z - 1}{z} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{(k + 1)!}[/mm]
> schreiben. Das Integral kann man dann aufschreiben, und
> nach dem Integralsatz von Cauchy ist das zweite Integral
> dann 0.
mit der Reihenentwicklung geht das natürlich. Aber noch eine Anmerkung zum Integralsatz von Cauchy:
Da sollte man sich natürlich zunächst mal überhaupt davon überzeugen, dass es ein einfach zusammenhängendes Gebiet in [mm] $\IC$ [/mm] gibt, dass [mm] $\partial U_R(0)=\{z \in \IC: |z| = R\}$ [/mm] enthält, so dass $z [mm] \mapsto \frac{\exp(z)-1}{z}$ [/mm] dort stetig (fortgesetzt) und holomorph (bis auf [mm] $z_0=0$) [/mm] ist. Das geht z.B. mit [mm] $G=U_{2R}(0)$ [/mm] oder gar [mm] $G=\IC$, [/mm] wenn man zunächst überhaupt mal beachtet, dass $z [mm] \mapsto \frac{\exp(z)-1}{z}$ [/mm] an [mm] $z_0=0$ [/mm] eine hebbare Singularität hat (insbesondere kann man die Funktion dort also stetig ergänzen, das ist wesentlich).
(Ansonsten hätten wir ein Problem, weil wir ja $z [mm] \mapsto \frac{\exp(z)-1}{z}$ [/mm] auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] betrachten, und wir somit über ein Jordangebiet "mit Loch" integrieren.
Betrachtest Du z.B. $z [mm] \mapsto \frac{\exp(z)-1}{z^2}$ [/mm] auf [mm] $\IC \setminus\{0\}$, [/mm] so hat diese Funktion an [mm] $z_0=0$ [/mm] keine hebbare Singularität, es sieht ähnlich aus, aber die Voraussetzungen des Cauchyschen Integralsatzes sind nicht gegeben. Diese Funktion hat an [mm] $z_0=0$ [/mm] einen Pol, man kann sie insbesondere dort nicht stetig ergänzen.)
Ist keine Kritik an Deiner Aussage (und vielleicht erzähle ich Dir hier auch nichts neues, da bin ich mir sogar ziemlich sicher, dass Dir das alles bekannt ist  ).
Ich will nur darauf hinweisen, dass man halt immer die Voraussetzungen des CIS überprüfen soll, bevor man einfach sagt:
"Das Integral verschwindet nach dem CIS."
Ich selbst hätte gesagt: "Überzeuge Dich davon, dass da die Voraussetzungen des CIS gegeben sind und daher..."
Der Zweck davon ist einfach: Dann wird das auch alles nochmal kontrolliert (jedenfalls: wenn ich lese: "Überzeuge Dich davon...", dann versuche ich auch, mich davon zu überzeugen ) und ggf. nachgerechnet, anstatt es einfach nur hinzunehmen
> Wenn man den Integralsatz noch nicht hatte, muss
> man halt die Summe aus dem Integral ziehen (Stichwort:
> absolute Konvergenz) und damit bekommt man dann, dass das 0
> ergibt.
>
> Bleibt also das Integral ueber [mm]\frac{1}{z}[/mm]. Aber da hattet
> ihr vielleicht schon etwas in der Vorlesung?
>
> LG Felix
Gruß,
Marcel
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Ich bin jetzt einmal so rangegangen, die Integrationsgrenzen einfach auszurechnen, und siehe da, [mm] \gamma(0)=r [/mm] und [mm] \gamma(2t)=r
[/mm]
In meinen Augen gilt nun ein fundamentaler Satz der Integralrechnung, der folgendes besagt:
[mm] \integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0
[/mm]
Korrigiert mich, wenn ich falsch liege.
MfG Sunny
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:24 Di 15.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Sunny!
> Ich bin jetzt einmal so rangegangen, die
> Integrationsgrenzen einfach auszurechnen, und siehe da,
> [mm]\gamma(0)=r[/mm] und [mm]\gamma(2t)=r[/mm]
>
> In meinen Augen gilt nun ein fundamentaler Satz der
> Integralrechnung, der folgendes besagt:
> [mm]\integral_{a}^{a}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> Korrigiert mich, wenn ich falsch liege.
Ja, hier liegst du falsch: Dieser fundamentale Satz hat einige wichtige Voraussetzungen. In der Funktionentheorie ist das z.B. der Integralsatz von Cauchy, und der hat die Voraussetzung, dass die Funktion auf einem gewissen Gebiet, in dessen inneren der Integrationsweg liegt (und dieser dort zusammenziehbar ist), holomorph ist. Und die Funktion hier hat in 0 einen Pol, und das liegt nunmal in der Mitte von dem Kreis ueber den integriert wird.
LG Felix
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ok das war mir nicht bekannt/bewusst.
Das ist halt das doofe, wenn man in vielen Gebieten nur auf Schulausbildung zurückgreifen kann, wo immer nur die Hälfte vermittelt wird.
also danke für den Hinweis.
MfG Sunny
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Mit der Reihenentwicklung hat dann alles geklappt. Ergebnis: [mm] 2i*\pi
[/mm]
Vielen Dank für den Tipp,
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sunny,
> ok das war mir nicht bekannt/bewusst.
>
> Das ist halt das doofe, wenn man in vielen Gebieten nur auf
> Schulausbildung zurückgreifen kann, wo immer nur die Hälfte
> vermittelt wird.
ich glaube nicht, dass das an einer fehlerhaften Schulausbildung liegt. Ich denke eher, dass Du hier Teile der Schulausbildung einfach auf andere Dinge anwendest, wo Du aber in der Schule nicht gelernt hast, ob bzw. wann Du die auf diese anwenden darf. Da liegt der Fehler eigentlich eher bei Dir, dass Du "grob fährlässig" einfach altbekanntes auf neue Dinge, wo Du aber gar nicht weißt, ob Du das einfach übernehmen darfst, anwendest. Habt ihr in der Schule wirklich schon [mm] $\IC$ [/mm] und holomorphe Funktionen behandelt? Kennst Du Begriffe wie 1-fach zusammenhängende Gebiete etc.? Weißt Du, was das heißt, dass ein Gebiet keine Löcher hat?
Im Komplexen erkennt man ein einfach zusammenhängendes Gebiet daran, dass es keine Löcher hat (das steht in Bemerkung und Definition 34.10). Dort gilt dann der Cauchysche Integralsatz. Weil er dort gilt, hat jede holomorphe (sogar besser:) stetige Funktion dann eine Stammfunktion (das steht oben in Satz 30.5) etc.
(Der Aufbau des Skriptums ist eigentlich anders, wie Du auch an der Argumentation+Nummerierung der Sätze erkennst, nichtsdestotrotz ist die Argumentation mit diesem Wissensstand korrekt, da ja alles bewiesen wurde, was ich zur Argumentation benutze. Die Argumentation zeigt einfach nur den Zusammenhang und die Widerspruchsfreiheit der verwendeten Sätze zueinander.)
Das hat man Dir sicher nicht in der Schule beigebracht, ich glaube vielmehr, dass ihr in der Schule meist Funktionen $M [mm] \to \IR$ [/mm] mit einer gewissen Menge $M [mm] \subset \IR$ [/mm] betrachtet habt (z.B. $M$ Intervall oder gar [mm] $M=\IR$)...
[/mm]
Wenn Du Dich aber ein wenig fortbilden willst:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Ab Kapitel 29...
Und ansonsten:
In der Schule lernt man halt erstmal gewisse Dinge über [mm] $\IR$, [/mm] reellwertige Funktionen, stetige Funktionen, diff'bare Funktionen etc.
Im obigen Skript erkennt man z.B., dass man Stetigkeit viel allgemeiner für Abbildungen zwischen metrischen Räumen definieren kann (strenggenommen kann man es noch allgemeiner machen mit topologischen Räumen). Das hält man alles so abstrakt, weil man dann die meisten Beweise "auf das Wesentliche" reduzieren kann und man so noch den Überblick behält. Ich bezweifle, dass man das alles in der Schule so abstrakt halten sollte, da würden noch mehr Schüler untergehen (nichtsdestotrotz bin ich auch der Meinung, dass man wenigstens in der Schule schonmal gewisse Dinge etwas allgemeiner formulieren könnte, aber das ist sicherlich auch Ansichtssache und meine ist wegen des Studiums eh schon in einer gewissen Hinsicht "verzerrt", so dass mir manche Dinge jetzt banal erscheinen, über die ich mir als Schüler den Kopf zerbrochen hätte).
Und natürlich kannst Du auch nach anderen Skripten suchen, vll. gefällt Dir woanders der Aufbau besser. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass Du (z.B. mit obigen Skriptum) die Möglichkeit hast, zu versuchen, Dir selber ein wenig mehr Kenntnisse der Theorie beizubringen. Und wenn dann etwas unklar ist, kannst Du z.B. hier im MR nachfragen 
Gruß,
Marcel
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Ich meinte das mit Schulbildung so, dass einem gewisse Regeln gezeigt werden, und gesagt wird, dass diese immer gelten. Es kommt praktisch zu einer Verleumdung gegenüber den komplexen Zahlen... (wohlwissend, dass 95% der Schüler niemals damit zu tun haben werden) Es wird einem nur in sehr sehr seltenen Fällen gezeigt, dass es an bestimmten Punkten noch weitergeht. So wie hier. Ich habe in der Schule noch nie was davon gehört, dass Integrale in den Komlexen Zahlen anders berechnet werden, da es über die reellen Zahlen hinaus nichts weiter gab.
MfG Sunny
PS: Ich bin mir nicht sicher, ob es noch passiert, aber dieses Semester wird bei mir der Integralbegriff bestimmt noch drastisch ausgeweitet, sodass ich dann auch für dieses Thema ein bestimmtes Wissen aufweisen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sunny,
> Ich meinte das mit Schulbildung so, dass einem gewisse
> Regeln gezeigt werden, und gesagt wird, dass diese immer
> gelten. Es kommt praktisch zu einer Verleumdung gegenüber
> den komplexen Zahlen... (wohlwissend, dass 95% der Schüler
> niemals damit zu tun haben werden)
ich bin mit Sicherheit kein Verfechter von "Verschweigungen", aber ist das, was Du da sagst, wirklich so? Mir wurde in der Schule beigebracht, dass es die komplexen Zahlen gibt, wir uns aber nur (und das war in der Physik) in ganz besonderen Ausnahmefällen damit beschäftigen (und ehrlich gesagt: Das, was wir dort mit den komplexen Zahlen mal "gerechnet" haben, war elementar oder elementargeometrisch). Ich kenne Deinen Schulweg und Deine Lehrer etc. nicht, aber Du selbst hast die ganzen Sachen in der Schule sicherlich für Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] gelernt. Vll. mal im Leistungskurs lineare Abbildungen von [mm] $\IR^3$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] oder so, aber sicherlich nicht mehr. Die "Analysis" in meinem Schulbuch hat an keiner Stelle komplexwertige Funktionen behandelt. Klar, dass die da sagen, dass das immer gilt, denn die gehen immer von "den einfachen Voraussetzungen" aus. Dann kann ich doch nun nicht hingehen und sagen, weil das für Funktionen von [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] immer gilt, gilt das im komplexen auch. Wenn ihr in der Schule schon mit Funktionen [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] oder wie auch immer gearbeitet habt und das dann "einfach wie sonst" gerechnet habt, dann ist das ein grob fährlässiger Fehler der Lehrerschaft. Ansonsten soll man den Schulbüchern und der Schulmathematik nicht zu viel Bedeutung im Studium beimessen, nicht umsonst fängt das Studium wieder bei "Null" an und nicht umsonst beweist man da alles nochmal, eben, damit Mathematiker auch lernen, wirklich zu sehen, wann etwas "analog" behandelt werden darf und wann nicht. Wenn ich daran denke, dass wir in der Schule von Grenzwerten gesprochen haben, wenn die Differenzfolge eine Nullfolge ist ohne vorher eigentlich mal definiert zu haben, was denn eine Nullfolge ist, sträuben sich mir heute die Nackenhaare. Damals war der Begriff der Nullfolge für mich so primitiv, dass es für mich dafür gar keiner genauen Definition bedurfte.
> Es wird einem nur in
> sehr sehr seltenen Fällen gezeigt, dass es an bestimmten
> Punkten noch weitergeht. So wie hier. Ich habe in der
> Schule noch nie was davon gehört, dass Integrale in den
> Komlexen Zahlen anders berechnet werden, da es über die
> reellen Zahlen hinaus nichts weiter gab.
Das ist doch eben der Punkt. Du "überträgst" einfach etwas analog, ohne zu wissen, ob Du das darfst. In der Schulmathematik sind dahingehend viele Aufgaben einfach so gestellt, dass das meist klappt, aber in der Uni-Mathematik sind die Aufgaben eher so:
Wenn Du schon etwas behauptest, dann musst Du es auch beweisen (begründen) können!
> MfG Sunny
>
> PS: Ich bin mir nicht sicher, ob es noch passiert, aber
> dieses Semester wird bei mir der Integralbegriff bestimmt
> noch drastisch ausgeweitet, sodass ich dann auch für dieses
> Thema ein bestimmtes Wissen aufweisen kann.
Auch dahingehend gibt es ja verschiedene Ansätze. Das Riemann-Integral. Das wird in der Schule immer so salopp gemacht, das könnte man kritisieren, dass da in vielen Büchern nur, dass man bspw. das Integral einer Funktion auf dem Intervall $(0,1)$ mittels des folgenden Grenzwertes errechnen kann:
[mm] $\int_0^1 f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ [/mm] oder ähnliches...
(Guck' mal nach, was da meist steht.)
Zum Riemann-Integral gehören zum einen gewisse Voraussetzungen, dass man das mit dem Grenzwert rechterhand überhaupt errechnen kann. Zuvor müßte man überhaupt mal die Existenz des Rieman-Integrals begründen.
Zum Glück lernt man an der Uni da einiges, was hilft: Bei stetigen Funktionen gilt...
Und das finde ich eher kritisch, weil man hier in der Schule etwas lernt, anzuwenden, aber Voraussetzungen, die man eigentlich nachkontrollieren müsste/sollte, verschwiegen werden, damit man das überhaupt anwenden darf.
Zudem wirst Du Dich sicher an den Integralbegriffen erfreuen, da gibt's nämlich schon zum einen verschiedene Theorie-Ansätze (Lebesgue-Integral, Riemann-Integral, um nur die zwei, die Dir wohl erstmal begegnen werden, zu nennen) zum anderen wirst Du einen Zusammenhang zwischen den Theorien lernen und auch die Unterschiede sollten deutlich gemacht werden (z.B. ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch Riemann-integrierbar). Und dann werden Dir Begriffe wie einfache Funktionen, Treppenfunktionen, glm. Konvergenz von Funktionenfolgen etc. wohl um die Ohren fliegen und Du wirst vll. dann doch denken: Das wäre vll. doch ein wenig zu viel für Schüler, um das alles zu verstehen.
Wie gesagt: Ich bin nicht der Meinung, dass die "Lehrpläne" nicht verbesserungsbedürftig wären oder das man den Lehrern doch mal ab und zu "erlauben" sollte, auf eine "Problematik" hinzuweisen, die mit den Dingen, die man in der Schule gelernt hat, zu tun haben. Das kann man sicher ankreiden. Aber wie will man den Schülern, die jetzt gerade mal gelernt haben, "grob" mit reellwertigen Funktionen und einem reellwertigen Definitionsbereich, zu integrieren, klarmachen, welche Problematik einen da im Komplexen erwartet?
(Wie gesagt: Oft werden ja auch schon allein bei der "reellen Integration" Sachen verschwiegen, und das finde ich viel schlimmer!)
Da könnte man sogar einen Seminarvortrag (vll. eher Proseminar) draus machen, denn man müßte erst mal einige Begriffe überhaupt klären, wie Gebiete, einfach zusammenhängend (vll. auch wegzusammenhängend) usw.
Und Du wirst auch irgendwann mal ganz erstaunt dreinblicken, wenn Du plötzlich was über "Zweige des Logarithmus" im Komplexen hörst.
Wie gesagt: Ich kann nicht beurteilen, ob das in Deinem Fall wirklich ein Problem Deiner Mathe-Lehrer(Innen) ist/war, weil die Euch einfach gesagt haben:
"Das ist die Methode, wendet die einfach immer an!"
oder ob Du es einfach selbst so machst. Das ist aber nicht wichtig, wichtig ist einfach, dass Du in Zukunft drauf achtest:
"Bevor ich etwas anwende, guck' ich erstmal, ob ich's so anwenden darf!"
Insbesondere heißt das: Bevor ich einen Satz anwende, sollte ich nachprüfen bzw. nachweisen, dass die zugehörigen Voraussetzungen gegeben sind.
Wie gesagt: Ist keine Kritik, sondern nur eine gutgemeinte Warnung, die Du im Laufe Deines Studiums sicher (wenn nicht jetzt, dann später) zu würdigen wissen wirst
Gruß,
Marcel
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