Kurven - Param. n. Bogenlänge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist $ c: [mm] \IR \to \IR^n [/mm] $ eine Parametrisierung nach der Bogenlänge einer geschlossenen Kurve, so ist $ c $ periodisch. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich nicht voran.
Auch aus der Lösung wurde ich bisher nicht schlau.
Vorab ein paar Definitionen und Sätze, mit deren Hilfe das eigentlich machbar sein muss.
Def.: Eine Kurve heißt geschlossen, falls sie eine periodische reguläre Parametrisierung besitzt.
Proposition: Zu jeder regulären parametrisierten Kurve $c $ gibt es eine orientierungserhaltende Parametertransformation $ [mm] \varphi [/mm] $, so dass die Umparametrisierung $ c [mm] \circ \varphi [/mm] $ nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Lemma: Sind $ [mm] c_1 [/mm] : [mm] \IR \to \IR^n [/mm] $ und $ [mm] c_2: \IR \to \IR^n [/mm] $ Parametrisierungen nach der Bogenlänge serselben Kurve, so ist die zugehörige Parametertransformation $ [mm] \varphi: I_1 \to I_2 [/mm] $ mit $ [mm] c_1 [/mm] = [mm] c_2 \circ \varphi [/mm] $ von der Form $ [mm] \varphi(t) [/mm] = t + [mm] t_0 [/mm] $
Insbesondere hab ich das Lemma noch nicht ganz durchdrungen. Eine Kurve ist per Definition eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Kurven, wobei solche als äquivalent anzusehen sind, wenn sie Umparametrisierungen von einander sind, also durch Umparametrisierungen aus einander hervorgehen.
Doch was bedeutet nun
> "Sind $ [mm] c_1 [/mm] : [mm] \IR \to \IR^n [/mm] $ und $ [mm] c_2: \IR \to \IR^n [/mm] $ > Parametrisierungen nach der Bogenlänge serselben Kurve, ..."
konkret? So etwas wie $ [mm] c_1 [/mm] = [mm] \tilde c_1 \circ \varphi [/mm] $ und $ [mm] c_2 [/mm] = [mm] \tilde c_2 \circ \varphi [/mm] $ wobei $ [mm] \tilde c_i [/mm] $ Elemente derselben Äquivalenzklasse sind, also die selbe Kurve beschreiben?
Darf ich unter "Parametrisierung" einfach eine orientierungserhaltende Umparametrisierung verstehen?
Würde mich freuen, wenn jemand Licht ins Dunkel bringen kann.
Grüße
ChopSuey
P.S. Die Aufgabe stammt eigentlich aus der Differentialgeometrie. Ich dachte, dass das somit am ehesten in "Geometrie und Topologie" passt. Konnte leider nichts passenderes finden.
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> Zeigen Sie: Ist [mm]c: \IR \to \IR^n[/mm] eine Parametrisierung nach
> der Bogenlänge einer geschlossenen Kurve, so ist [mm]c[/mm]
> periodisch.
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe komme ich nicht voran.
> Auch aus der Lösung wurde ich bisher nicht schlau.
>
> Vorab ein paar Definitionen und Sätze, mit deren Hilfe das
> eigentlich machbar sein muss.
>
> Def.: Eine Kurve heißt geschlossen, falls sie eine
> periodische reguläre Parametrisierung besitzt.
>
> Proposition: Zu jeder regulären parametrisierten Kurve [mm]c[/mm]
> gibt es eine orientierungserhaltende
> Parametertransformation [mm]\varphi [/mm], so dass die
> Umparametrisierung [mm]c \circ \varphi[/mm] nach Bogenlänge
> parametrisiert ist.
>
> Lemma: Sind [mm]c_1 : \IR \to \IR^n[/mm] und [mm]c_2: \IR \to \IR^n[/mm]
> Parametrisierungen nach der Bogenlänge serselben Kurve,
> so ist die zugehörige Parametertransformation [mm]\varphi: I_1 \to I_2[/mm]
> mit [mm]c_1 = c_2 \circ \varphi[/mm] von der Form [mm]\varphi(t) = t + t_0[/mm]
>
> Insbesondere hab ich das Lemma noch nicht ganz
> durchdrungen. Eine Kurve ist per Definition eine
> Äquivalenzklasse von parametrisierten Kurven, wobei solche
> als äquivalent anzusehen sind, wenn sie
> Umparametrisierungen von einander sind, also durch
> Umparametrisierungen aus einander hervorgehen.
>
> Doch was bedeutet nun
>
> > "Sind [mm]c_1 : \IR \to \IR^n[/mm] und [mm]c_2: \IR \to \IR^n[/mm] >
> Parametrisierungen nach der Bogenlänge serselben Kurve,
> ..."
>
> konkret? So etwas wie [mm]c_1 = \tilde c_1 \circ \varphi[/mm] und
> [mm]c_2 = \tilde c_2 \circ \varphi[/mm] wobei [mm]\tilde c_i[/mm] Elemente
> derselben Äquivalenzklasse sind, also die selbe Kurve
> beschreiben?
>
> Darf ich unter "Parametrisierung" einfach eine
> orientierungserhaltende Umparametrisierung verstehen?
>
> Würde mich freuen, wenn jemand Licht ins Dunkel bringen
> kann.
>
> Grüße
> ChopSuey
>
> P.S. Die Aufgabe stammt eigentlich aus der
> Differentialgeometrie. Ich dachte, dass das somit am
> ehesten in "Geometrie und Topologie" passt. Konnte leider
> nichts passenderes finden.
Hallo ChopSuey,
der zu beweisende Satz ist ja anschaulich absolut offensichtlich,
und mir scheint, dass man hier mit anschaulichen Begriffen
bestimmt einen verständlicheren Beweis machen kann als mit
den zitierten Sätzen. Sei also k eine geschlossene Kurve im [mm] \IR^n
[/mm]
und [mm] c:\IR\to\IR^n [/mm] eine Parametrisierung von k nach der Bogenlänge.
Letzteres bedeutet, dass man entlang der Kurve ein eindimensionales
Hilfskoordinatensystem etabliert hat - eine lineare Längenskala.
Sei [mm] P_0 [/mm] der Punkt c(0) auf k . Da die geschlossene Kurve eine endliche
Länge L haben muss (vor allem dies wäre noch zu begründen !), ist
offensichtlich $\ .... [mm] c(-2\,L)=c(-L)=c(0)=P_0=c(L)=c(2\,L)=.....$ [/mm] , etc ,
und weil die Parametrisierung längentreu ist, müssen auch die
einzelnen Umläufe zueinander "kongruent" parametrisiert sein.
Deshalb muss die Abbildung c periodisch mit der Periode L sein.
Das obige Lemma besagt eigentlich nur, dass zwei verschiedene
Bogenlängen-Parametrisierungen sich nur in der Wahl des Punktes
[mm] P_0 [/mm] auf k unterscheiden können - alle Maßangaben verschieben
sich dann auf der c-Skala um einen festen Wert (der entlang k
gemessenen Distanz zwischen den beiden Startpunkten). Wenn
dabei die beiden Parametrisierungen denselben Umlaufsinn haben,
ist die Transformation von der Form $ [mm] \varphi(t) [/mm] = t + [mm] t_0 [/mm] $ .
Bei Umkehrung des Umlaufsinns wäre es $ [mm] \varphi(t) [/mm] = -t + [mm] t_0 [/mm] $
Vielleicht entspricht mein obiger Beweis nicht dem formalen
Muster, das in eurer Lehrveranstaltung erwartet wird - nach meiner
bescheidenen Ansicht ist er aber allemal verständlicher als
alles, was man auf einer formalisierteren Ebene produzieren
kann ...
Beachte insbesondere, dass der Beweis der endlichen Kurvenlänge
noch geführt werden muss !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 So 10.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für Deine ausführliche Hilfe!
Ich hab' mir das anschaulich noch garnicht überlegt. Im Moment bereite ich mich bloß ein wenig auf die Veranstaltung im folgenden Semester vor. Dann kommt das sowieso nochmal alles dran.
Ich versuch das mal mit deinen Ausführungen und den genannten Definitionen und dem Lemma zu lösen. Ansonsten freue ich mich natürlich über weitere Tips und Anregungen.
Viele Grüße
ChipSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Mo 18.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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