Kurven auf Kompakten Mengen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Snarfu |
| Aufgabe | Sei [mm] $K\subset \IR^n$ [/mm] eine kompakte Menge. [mm] $\phi_k \in C^1([0,1],K)$ [/mm] Folge von Kurven mit:
[mm] $$sup_{k\in\IN}L(\phi_k)\leq C<\infty$$
[/mm]
zz: Es gibt eine stetige Kurve [mm] $\phi:[0,1]\rightarrow [/mm] K$ und Umparametrisierung [mm] $\psi_k$ [/mm] so dass:
[mm] $$\phi_k\circ\psi_k\rightarrow\phi$ [/mm] in [mm] $C^0$$ [/mm] |
Huhu Zusammen,
ich bin bei obiger Aufgabe leider völlig Ansatz- und Ratlos. In der Überschrift steht das Problem hätte etwas mit Arzela Ascoli zu tun aber ich kann nicht sehen wo der Zusammenhang ist.
Danke für jede Hilfe
Gruß!
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
($L$ ist vermutlich das Bogenmaß)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Ich glaube, dass du zeigen musst, dass es eine TEILFOLGE gibt, die gleichmässig gegen dein [mm] $\phi$ [/mm] konvergiert.
Nun zur Aufgabe: Der Tipp mit Arzela-Ascoli zu arbeiten ist offensichtlich.
Was sagt dieser? Eine Teilmenge [mm] $M\subseteq C(\Omega)$ [/mm] ist genau dann kompakt (in der Topologie induziert durch die Supremumsnorm, und [mm] $\Omega$ [/mm] ein kompakter topologischer Raum) wenn die Menge abgeschlossen, beschränkt und gleichgradig stetig (equicontinuous im Englischen) ist.
Wenn man sich das durch den Kopf gehen lässt, stellt man fest, dass in diesem Problem die Funktionen vektorwertig sind. Das kann man aber leicht umgehen, denn man kann hier komponentenweise argumentieren und der Satz gilt dann auch für diesen Fall.
Als zweites muss man ja irgendwie die Beschränktheit der Bogenlängen mit ins Spiel bringen. Ich würde da so vorgehen: Setze $L:= [mm] \sup_k L(\phi_k)$. [/mm] Dann parametrisiere jeder dieser Kurven nach der Bogenlänge um und erweitere den Definitionsbereich jeder dieser neuen umparametrisierten Funktion (nennen wir diese einfach mal [mm] $\tilde{\phi_k}$) [/mm] auf das Intervall $[0,L]$ indem du sie einfach in [mm] $[L_k, [/mm] L]$ konstant gleich dem Endwert setzt. Das wird dann dein [mm] $\Omega$. [/mm] Verwende nun den Mittelwertsatz um die gleichmässige Lipschitzstetigkeit der [mm] $\tilde{\phi_k}$ [/mm] zu zeigen (Dies ist wirklich trivial). Und eine einfache Übungsaufgabe zeigt: glm lipschitzstetigkeit impliziert gleichgradige Stetigkeit (der Beweis ist fast derselbe wie Lipschitz impliziert gleichmässig stetig). Jetzt hast du die gleichgradige Stetigkeit (zur Erinnerung: der [mm] $\tilde{\phi_k}$'s!) [/mm] Die Beschränktheit folgt aus dem Fundamentalsatz der diffenrential und integralrechnung, der Annahme, dass die Bogenlängen gleichmässig beschränkt sind und die Beschränktheit der kompakten Menge $K$ (Erst hier haben wir die Kompaktheit verwendet, präziser: die Beschränktheit). Insgesamt haben wir mit $M:= [mm] (\tilde{\phi_k})_k$:
[/mm]
- Beschränkt in [mm] $C([0,L],\IR^n)$ [/mm] und
- gleichgradige Stetigkeit
Nach Arzela-Ascoli ist $M$ relativ kompakt (d.h der Abschluss ist kompakt).
Da in metrischen Räumen kompakt = Folgenkompakt folgt, dass es eine gleichmässig konvergente Teilfolge von $M$ gibt. Dieser Grenzwert ist ein Element von [mm] $C([0,L],\IR^n)$. [/mm] Wähle dir jetzt einen Diffeomorphismus zwischen $[0,L]$ und $[0,1]$ verknüpfe diesen noch mit deinen [mm] $\tilde{\phi}_k$'s [/mm] und fertig!
Ich hoffe, ich konnte helfen!
Einen schönen Abend noch
Gruss dazivo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 So 14.11.2010 | | Autor: | Snarfu |
Vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Das die Aussage nur für eine Teilfolge zu zeigen ist muß wohl stimmen da sie sonst falsch wäre. (Gegenbeispiel konstruiert)
Du hast mir sehr geholfen. Jetzt ist es erst 11 Uhr morgens und ich habe den Rest des Sontags frei :)
Gruß und einen schönen Sontag dir auch!
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