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Kurven im R^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mo 13.05.2013
Autor: M-unit

Aufgabe
Es sei [mm] \alpha [/mm] eine reelle Konstante. Die Kurve [mm] C(\alpha) [/mm] sei durch folgende Parameterdarstellung gegeben:

[mm] \delta: [/mm] R [mm] \to R^2, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] (2cos(t) + [mm] cos(\alpha*t),2sin(t)-sin(\alpha*t)). [/mm]

Man beweise: Genau dann ist [mm] \alpha [/mm] rational, wenn [mm] \delta [/mm] periodisch ist, d.h. wenn es eine Konstante L>0 gibt mit [mm] \delta [/mm] (t + L) = [mm] \delta [/mm] (t) für alle t.

Hey,
wir haben neulich diese Aufgabe bekommen, aber leider komme ich nicht weiter. Könnt ihr bitte mir bei dieser Aufgabe helfen oder wenigstens einen Tipp geben?

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
        
Bezug
Kurven im R^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Mo 13.05.2013
Autor: fred97


> Es sei [mm]\alpha[/mm] eine reelle Konstante. Die Kurve [mm]C(\alpha)[/mm]
> sei durch folgende Parameterdarstellung gegeben:
>  
> [mm]\delta:[/mm] R [mm]\to R^2,[/mm] t [mm]\mapsto[/mm] (2cos(t) +
> [mm]cos(\alpha*t),2sin(t)-sin(\alpha*t)).[/mm]
>  
> Man beweise: Genau dann ist [mm]\alpha[/mm] rational, wenn [mm]\delta[/mm]
> periodisch ist, d.h. wenn es eine Konstante L>0 gibt mit
> [mm]\delta[/mm] (t + L) = [mm]\delta[/mm] (t) für alle t.
>  Hey,
>  wir haben neulich diese Aufgabe bekommen, aber leider
> komme ich nicht weiter.

Wie weit bist Du denn gekommen ?

Fangen wir mit der einfacheren Richtung an: sei [mm] \alpha [/mm] rational, etwa [mm] \alpha=p/q [/mm] mit p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm]

Probiers mal mit $L=2*q* [mm] \pi$ [/mm]

FRED


>  Könnt ihr bitte mir bei dieser
> Aufgabe helfen oder wenigstens einen Tipp geben?
>  
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)

Bezug
                
Bezug
Kurven im R^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mo 13.05.2013
Autor: M-unit

Ich habe es mir jetzt folgender Maßen aufgeschrieben:
Da L>0 mit [mm] \delta [/mm] (t + L) = [mm] \delta [/mm] (t) für alle t.
Es gilt nun cos [mm] (\alpha [/mm] t + [mm] \alpha [/mm] L) = cos [mm] (\alpha [/mm] t) für alle t.
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] L [mm] \in 2\pi \IZ. [/mm]
Wäre es so richtig?
Weiter komme ich leider nicht...
Bezug
                        
Bezug
Kurven im R^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Mo 13.05.2013
Autor: fred97


> Ich habe es mir jetzt folgender Maßen aufgeschrieben:
>  Da L>0 mit [mm]\delta[/mm] (t + L) = [mm]\delta[/mm] (t) für alle t.
>  Es gilt nun cos [mm](\alpha[/mm] t + [mm]\alpha[/mm] L) = cos [mm](\alpha[/mm] t)
> für alle t.
>  [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] L [mm]\in 2\pi \IZ.[/mm]

Wieso ????


>  Wäre es so richtig?
>  Weiter komme ich leider nicht...

Der Fall [mm] \alpha=0 [/mm] ist klar. Sei also [mm] \alpha \ne [/mm] 0.



Es ist doch [mm] \delta(L)=\delta(0). [/mm] Dann folgt:

    [mm] $2cos(L)+cos(\alpha [/mm] L)=3.$

Dann ist aber cos(L)=1 und [mm] cos(\alpha [/mm] L)=1 (warum ?)

Somit gibt es k,j [mm] \in \IZ [/mm] mit

      $L= 2k* [mm] \pi$ [/mm]  und [mm] $\alpha*L= [/mm] 2j* [mm] \pi$. [/mm]

Es folgt: [mm] \alpha=j/k. [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Kurven im R^n: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:51 Mo 13.05.2013
Autor: M-unit


> > Ich habe es mir jetzt folgender Maßen aufgeschrieben:
>  >  Da L>0 mit [mm]\delta[/mm] (t + L) = [mm]\delta[/mm] (t) für alle t.
>  >  Es gilt nun cos [mm](\alpha[/mm] t + [mm]\alpha[/mm] L) = cos [mm](\alpha[/mm] t)
> > für alle t.
>  >  [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] L [mm]\in 2\pi \IZ.[/mm]
>  
> Wieso ????
>  
>
> >  Wäre es so richtig?

>  >  Weiter komme ich leider nicht...
>
> Der Fall [mm]\alpha=0[/mm] ist klar. Sei also [mm]\alpha \ne[/mm] 0.
>  
>
>
> Es ist doch [mm]\delta(L)=\delta(0).[/mm] Dann folgt:
>  
> [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm]
>  
> Dann ist aber cos(L)=1 und [mm]cos(\alpha[/mm] L)=1 (warum ?)

Das folgt doch aus der Voraussetzung, dass cos(L) = cos [mm] (\alpha [/mm] L) und da: [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm] ist cos (L) = 1, oder?
>  
> Somit gibt es k,j [mm]\in \IZ[/mm] mit
>  
> [mm]L= 2k* \pi[/mm]  und [mm]\alpha*L= 2j* \pi[/mm].
>  
> Es folgt: [mm]\alpha=j/k.[/mm]
>  
> FRED
>  

Bezug
                                        
Bezug
Kurven im R^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mo 13.05.2013
Autor: fred97


> > > Ich habe es mir jetzt folgender Maßen aufgeschrieben:
>  >  >  Da L>0 mit [mm]\delta[/mm] (t + L) = [mm]\delta[/mm] (t) für alle t.
>  >  >  Es gilt nun cos [mm](\alpha[/mm] t + [mm]\alpha[/mm] L) = cos [mm](\alpha[/mm]
> t)
> > > für alle t.
>  >  >  [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] L [mm]\in 2\pi \IZ.[/mm]
>  >  
> > Wieso ????
>  >  
> >
> > >  Wäre es so richtig?

>  >  >  Weiter komme ich leider nicht...
> >
> > Der Fall [mm]\alpha=0[/mm] ist klar. Sei also [mm]\alpha \ne[/mm] 0.
>  >  
> >
> >
> > Es ist doch [mm]\delta(L)=\delta(0).[/mm] Dann folgt:
>  >  
> > [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm]
>  >  
> > Dann ist aber cos(L)=1 und [mm]cos(\alpha[/mm] L)=1 (warum ?)
>  
> Das folgt doch aus der Voraussetzung, dass cos(L) = cos
> [mm](\alpha[/mm] L)


nein. Wie kommst Du darauf ?

FRED


> und da: [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm] ist cos (L) =
> 1, oder?
>  >  
> > Somit gibt es k,j [mm]\in \IZ[/mm] mit
>  >  
> > [mm]L= 2k* \pi[/mm]  und [mm]\alpha*L= 2j* \pi[/mm].
>  >  
> > Es folgt: [mm]\alpha=j/k.[/mm]
>  >  
> > FRED
>  >  
>  

Bezug
                                                
Bezug
Kurven im R^n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Mo 13.05.2013
Autor: M-unit


> > > > Ich habe es mir jetzt folgender Maßen aufgeschrieben:
>  >  >  >  Da L>0 mit [mm]\delta[/mm] (t + L) = [mm]\delta[/mm] (t) für alle
> t.
>  >  >  >  Es gilt nun cos [mm](\alpha[/mm] t + [mm]\alpha[/mm] L) = cos
> [mm](\alpha[/mm]
> > t)
> > > > für alle t.
>  >  >  >  [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] L [mm]\in 2\pi \IZ.[/mm]
>  >  >  
> > > Wieso ????
>  >  >  
> > >
> > > >  Wäre es so richtig?

>  >  >  >  Weiter komme ich leider nicht...
> > >
> > > Der Fall [mm]\alpha=0[/mm] ist klar. Sei also [mm]\alpha \ne[/mm] 0.
>  >  >  
> > >
> > >
> > > Es ist doch [mm]\delta(L)=\delta(0).[/mm] Dann folgt:
>  >  >  
> > > [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm]
>  >  >  
> > > Dann ist aber cos(L)=1 und [mm]cos(\alpha[/mm] L)=1 (warum ?)
>  >  
> > Das folgt doch aus der Voraussetzung, dass cos(L) = cos
> > [mm](\alpha[/mm] L)
>
>
> nein. Wie kommst Du darauf ?

ups. ich habe mich geirrt.
>  
> FRED
>  
>
> > und da: [mm]2cos(L)+cos(\alpha L)=3.[/mm] ist cos (L) =
> > 1, oder?
>  >  >  
> > > Somit gibt es k,j [mm]\in \IZ[/mm] mit
>  >  >  
> > > [mm]L= 2k* \pi[/mm]  und [mm]\alpha*L= 2j* \pi[/mm].
>  >  >  
> > > Es folgt: [mm]\alpha=j/k.[/mm]
>  >  >  
> > > FRED
>  >  >  
> >  

>  

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