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Forum "Differenzialrechnung" - Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Mi 03.06.2015
Autor: canyakan95

Aufgabe
f:R->R : f(x) = [mm] \wurzel{\bruch{1-x^3}{1+x^3}} [/mm]
Aufgabe 1) = Geben Sie die Menge aller x e R an, für die f(x) e R ist als Intervall oder als Vereinigung von Intervallen an.
Aufgabe 2)= Ist f(x) an der Stelle x0 = 1 differenzierbar? Begründen Sie ihre Entscheidung durch eine Rechnung.

Habe folgendes gemacht.
Aufgabe 1) Die Lösung: x e R (-1;1] , weil ich da Fälle unterschieden habe
Nenner: fall 1=x=-1 (Für bruch nicht definiert)
Fall 2 = x<-1 ( Wurzel aus negativer Zahl nicht definiert)
Fall 3 =x>-1// (1-x3)/(1+x3)>-1 | *(1+x3) =>      1-x3>-1-x3 (Wahr).

Zähler : Fall 1= x=1 Lösung = 0
Fall 2=x<1...Lösung existiert
Fall 3 = x>1 (Wurzel aus neg Zahl ist nicht definiert)


Aufgabe 2)
Für lim x->x0 : [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{1-x^3}{1+x^3}} -0}{x-1} [/mm]

mehr bin ich auch nicht gekommen ich wollte den Limes reinziehen (auf zähler und nenner) weiß aber nicht wie ich dann weiter machen soll.
Hoffe ihr könnt mich korriegieren und mir weiter helfen.
Mfg

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Do 04.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo


> f:R->R : f(x) = [mm]\wurzel{\bruch{1-x^3}{1+x^3}}[/mm]
> Aufgabe 1) = Geben Sie die Menge aller x e R an, für die
> f(x) e R ist als Intervall oder als Vereinigung von
> Intervallen an.
> Aufgabe 2)= Ist f(x) an der Stelle x0 = 1 differenzierbar?
> Begründen Sie ihre Entscheidung durch eine Rechnung.
> Habe folgendes gemacht.
> Aufgabe 1) Die Lösung: x e R (-1;1] , weil ich da Fälle
> unterschieden habe
> Nenner: fall 1=x=-1 (Für bruch nicht definiert)
> Fall 2 = x<-1 ( Wurzel aus negativer Zahl nicht definiert)
> Fall 3 =x>-1// (1-x3)/(1+x3)>-1 | *(1+x3) =>
> 1-x3>-1-x3 (Wahr).

>

> Zähler : Fall 1= x=1 Lösung = 0
> Fall 2=x<1...Lösung existiert
> Fall 3 = x>1 (Wurzel aus neg Zahl ist nicht definiert)

Das stimmt so.

Für x=-1 ist der Nenner des Bruchs in der Tat nicht definiert, für x>1 ist der Bruch [mm] \frac{1-x^{3}}{1+x^{3}} [/mm] negativ, daher kannst du die Wurzel nicht mehr ziehen, ebenso für x<-1

Alle anderen Werte sind erlaubt, die Definitionsmenge D der Funktion ist also [mm]D=\{x\in\IR|-1\le x<1\}[/mm]



>
>

> Aufgabe 2)
> Für lim x->x0 : [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{1-x^3}{1+x^3}} -0}{x-1}[/mm]

>

> mehr bin ich auch nicht gekommen ich wollte den Limes
> reinziehen (auf zähler und nenner) weiß aber nicht wie
> ich dann weiter machen soll.
> Hoffe ihr könnt mich korriegieren und mir weiter helfen.
> Mfg

Dürft ihr die h-Methode nutzen? Diese ist meist etwas einfacher zu händeln.

Ansonsten bedenke, dass [mm] 1-x^{3}=(x-1)^{2}\cdot\left(-x- 2-\frac{3x-3}{(x-1)^2}\right) [/mm]

Damit dann

[mm]\frac{\sqrt{\frac{(1-x^{3}}{1+x^{3}}}}{x-1}[/mm]
[mm]=\frac{\sqrt{\frac{(x-1)^{2}\cdot\left(-x-2-\frac{3x-3}{(x-1)^2}\right)}{1+x^{3}}}}{x-1}[/mm]
[mm]=\frac{(x-1)\cdot\sqrt{\frac{-x-2-\frac{3x-3}{(x-1)^2}}{1+x^{3}}}}{x-1}[/mm]
[mm]=\sqrt{\frac{-x-2-\frac{3x-3}{(x-1)^2}}{1+x^{3}}}[/mm]


Kommst du damit schonmal weiter? Du bist jetzt ja schonmal das x-1 aus dem Nenner des Doppelbruchs losgeworden.

Marius
 

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Do 04.06.2015
Autor: canyakan95

Wie geht das denn jetzt weiter ..?
Kann ich den limes reinziehen und ja wie ??
Hoffe ihr könnt mir das erklären.
Mfg

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Do 04.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Wie geht das denn jetzt weiter ..?

Gar keine Idee?

> Kann ich den limes reinziehen

ja

> und ja wie ??
> Hoffe ihr könnt mir das erklären.
> Mfg

$ [mm] \sqrt{\frac{-x-2-\frac{3x-3}{(x-1)^2}}{1+x^{3}}} [/mm] $
$ [mm] =\sqrt{\frac{-x-2-\frac{3(x-1)}{(x-1)^2}}{1+x^{3}}} [/mm] $
$ [mm] =\sqrt{\frac{-x-2-\frac{3}{x-1}}{1+x^{3}}} [/mm] $

Jetzt mach dir mal Gedanken zum Grenzwert, wenn du [mm] x\to1 [/mm] laufen lässt.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Do 04.06.2015
Autor: canyakan95

Da kommt ja raus:
[mm] \wurzel{\bruch{-1-2-\bruch{3}{0}}{2}} [/mm]

Da die division durch die null nicht definiert ist..existiert kein Grenzwert
und damit ist die Funktion auch an der stelle x0=1 nicht differenzierbar.
Stimmt das ?
Mfg

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Do 04.06.2015
Autor: chrisno

Ja. Mit folgender Überlegung wird das auch anschaulich klar. Du kennst die Parabel. Im Scheitelpunkt hat sie eine waagerechte Tangente. Der Graph der Wurzelfunktion entsteht durch Spiegelung der Parabel an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. Also ist die Tangente im "Scheitelpunkt" nun senkrecht zur x-Achse. "Deren Steigung ist unendlich."

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